想象一下，你有一个 3 维 n 个点的集合 S。任意两点之间的距离是简单的欧几里得距离。您想要从该集合中选择 k 个点的子集 Q，以使它们彼此相距最远。换句话说，不存在 k 个点的其他子集 Q'，使得 Q 中所有成对距离的最小值小于 Q' 中的距离。

如果 n 约为 1600 万，k 约为 300，我们如何有效地做到这一点？

我的猜测是，这个 NP 难题可能是我们只想关注近似值。我能想到的一个想法是使用多维缩放对一行中的这些点进行排序，然后使用二分搜索的版本来获取该行上相距最远的点。

这称为离散 p 色散 (maxmin) 问题。

最优性界被证明为白 (1991) https://academic.oup.com/imaman/article-abstract/3/2/131/723484 and 拉维等人。 (1994) https://pdfs.semanticscholar.org/1634/b7d3dd67daf1067d97185319c44f8a7d227e.pdf给出问题的因子 2 近似值，后者证明这种启发式是最好的（除非 P=NP）。

因子 2 近似

因子 2 近似如下：

Let V be the set of nodes/objects.
Let i and j be two nodes at maximum distance.
Let p be the number of objects to choose.
P = set([i,j])
while size(P)<p:
  Find a node v in V-P such that min_{v' in P} dist(v,v') is maximum.
  \That is: find the node with the greatest minimum distance to the set P.
  P = P.union(v)
Output P

你可以像这样在 Python 中实现它：

#!/usr/bin/env python3

import numpy as np

p = 50
N = 400

print("Building distance matrix...")
d = np.random.rand(N,N) #Random matrix
d = (d + d.T)/2         #Make the matrix symmetric

print("Finding initial edge...")
maxdist  = 0
bestpair = ()
for i in range(N):
  for j in range(i+1,N):
    if d[i,j]>maxdist:
      maxdist = d[i,j]
      bestpair = (i,j)

P = set()
P.add(bestpair[0])
P.add(bestpair[1])

print("Finding optimal set...")
while len(P)<p:
  print("P size = {0}".format(len(P)))
  maxdist = 0
  vbest = None
  for v in range(N):
    if v in P:
      continue
    for vprime in P:
      if d[v,vprime]>maxdist:
        maxdist = d[v,vprime]
        vbest   = v
  P.add(vbest)

print(P)

精确解

您还可以将其建模为 MIP。对于p=50，n=400，6000s后，最优性差距仍然是568%。近似算法需要 0.47 秒才能获得 100%（或更小）的最优性差距。一个简单的 Gurobi Python 表示可能如下所示：

#!/usr/bin/env python
import numpy as np
import gurobipy as grb

p = 50
N = 400

print("Building distance matrix...")
d = np.random.rand(N,N) #Random matrix
d = (d + d.T)/2             #Make the matrix symmetric

m = grb.Model(name="MIP Model")

used  = [m.addVar(vtype=grb.GRB.BINARY) for i in range(N)]

objective = grb.quicksum( d[i,j]*used[i]*used[j] for i in range(0,N) for j in range(i+1,N) )

m.addConstr(
  lhs=grb.quicksum(used),
  sense=grb.GRB.EQUAL,
  rhs=p
)

# for maximization
m.ModelSense = grb.GRB.MAXIMIZE
m.setObjective(objective)

# m.Params.TimeLimit = 3*60

# solving with Glpk
ret = m.optimize()

Scaling

显然，初始点的 O(N^2) 缩放很糟糕。通过认识到该对必须位于数据集的凸包上，我们可以更有效地找到它们。这给了我们一个O(N log N)找到该对的方法。一旦找到它，我们就像以前一样继续（使用 SciPy 进行加速）。

最好的缩放方法是使用 R* 树来有效地找到候选点 p 和集合 P 之间的最小距离。但这在 Python 中无法有效完成，因为for仍然涉及循环。

import numpy as np
from scipy.spatial import ConvexHull
from scipy.spatial.distance import cdist

p = 300
N = 16000000

# Find a convex hull in O(N log N)
points = np.random.rand(N, 3)   # N random points in 3-D

# Returned 420 points in testing
hull = ConvexHull(points)

# Extract the points forming the hull
hullpoints = points[hull.vertices,:]

# Naive way of finding the best pair in O(H^2) time if H is number of points on
# hull
hdist = cdist(hullpoints, hullpoints, metric='euclidean')

# Get the farthest apart points
bestpair = np.unravel_index(hdist.argmax(), hdist.shape)

P = np.array([hullpoints[bestpair[0]],hullpoints[bestpair[1]]])

# Now we have a problem
print("Finding optimal set...")
while len(P)<p:
  print("P size = {0}".format(len(P)))
  distance_to_P        = cdist(points, P)
  minimum_to_each_of_P = np.min(distance_to_P, axis=1)
  best_new_point_idx   = np.argmax(minimum_to_each_of_P)
  best_new_point = np.expand_dims(points[best_new_point_idx,:],0)
  P = np.append(P,best_new_point,axis=0)

print(P)