2.2 变换（模型、视图、投影）

三维变换

• 仿射变换
• 三维旋转变换
  • 逆时针角度为正
  • 右手系原因，y轴逆时针看去是 zox 平面，所以转角应该是 − α -\alpha −α
  • 也可理解为
    • z × x = y   , x × z = − y z \times x = y\ , \quad x \times z = -y z×x=y ,x×z=−y
      
• Rodrigues’ Rotation Formula
  • 给定过原点旋转轴 n， 旋转角 α \alpha α，旋转矩阵如下
  • 非过原点轴，先把轴平移到原点，旋转，再平移回去

• 四元数（略）

观测变换（Viewing transformation）

视图 （View）

• 什么是视图变换
• 模型变换与视图变换，两者通常一同处理
  • 改变模型动作，模型变换
  • 改变相机视角，视图变换
  • 拍照，相当于投影变换
• 为什么要模型 / 视图变换
  • 因为模型有很多顶点
  • 这些顶点坐标是模型空间下的
  • 需要移动到世界坐标
  • 所以要做模型变换

定义相机

• 位置 / position e ⃗ \quad \vec{e} e
• 朝向 / gaze direction g ^ \quad \hat{g} g^​
• 向上方向 / Up direction t ^ \quad \hat{t} t^

• 约定俗成的相机
  • 永远放在原点
  • 永远朝向 − Z -Z −Z
  • t ^ = Y \hat{t} = Y t^=Y

如何将相机移动到约定俗成位置

• 相机变换过程
  • 平移到原点
  • 旋转   g ^ = − Z \ \hat{g} = -Z  g^​=−Z
  • 旋转   t ^ = Y \ \hat{t} = Y  t^=Y
  • 旋转   g × t = X \ g \times t = X  g×t=X
• 相机变换矩阵推导（旋转矩阵可以逆向思维）
  

投影 （Projection）

• 3D到2D
• 正交是垂直
• 透视投影平行线不再平行
  • 近大远小

正交（Orthography） M o \quad M_o Mo​

• 简单的正交投影
  • Z归零
  • 归一化   [ − 1 ,   1 ] \ [-1,\ 1]  [−1, 1]
• 常规的正交投影
  • 立方体中心平移到原点
  • 边长归一化   [ − 1 ,   1 ] \ [-1,\ 1]  [−1, 1]
• 正交变换矩阵如下：
  

透视（Perspective） M p \quad M_p Mp​

• 特点
  • 最广泛的投影
  • 近大远小
  • 平行线不再平行
• 投影方法
  • 从透视变换到正交
  • 正交投影
  • 假设显示屏幕距原点距离为   n \ n  n
• 透视到投影矩阵推导（根据以下三个点）
  • 通俗的讲，把梯形压缩成长方形
    • 中间点等比例变换
    • 近平面、远平面上的 Z Z Z 坐标不变

( x , y , z , 1 ) → ( x ′ , y ′ , z , 1 ) ( x ′ , y ′ , z ′ , 1 ) → ( x ′ , y ′ , z ′ , 1 ) (x, y, z, 1) \rightarrow (x', y', z, 1) \quad \quad (x', y', z', 1) \rightarrow (x', y', z', 1) (x,y,z,1)→(x′,y′,z,1)(x′,y′,z′,1)→(x′,y′,z′,1)

• 透视变换矩阵如下
  M p = M o ⋅ ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + z − n z 0 0 1 0 ) M_p = M_o \cdot \left( \begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+z & -nz \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right) Mp​=Mo​⋅⎝⎜⎜⎛​n000​0n00​00n+z1​00−nz0​⎠⎟⎟⎞​

透视变换，中间平面的 z z z 坐标如何变化？