Python 特征向量：numpy.linalg、scipy.linalg 和 scipy.sparse.linalg 之间的差异

Scipy 和 Numpy 具有三个不同的函数来查找给定方阵的特征向量，它们是：

1. numpy.linalg.eig(a) http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.linalg.eig.html#numpy.linalg.eig
2. scipy.linalg.eig(a) http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.eig.html#scipy.linalg.eig, and
3. scipy.sparse.linalg.eig(A, k) http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.sparse.linalg.eigs.html#scipy.sparse.linalg.eigs

特别关注我在最后两个中留下的所有可选参数都保留默认值的情况a/A是实值，我很好奇这三个之间的差异，这些差异在文档中是不明确的 - 特别是：

• 为什么(3)有一个注释找不到all特征向量？
• Why must另外两个计算所有解决方案 - 为什么他们不采取k争论？
• (1) 有注释说特征值不按特定顺序返回； (3) 有一个可选参数来控制顺序。 (2)对此有任何保证吗？
• (3) 是否假设A稀疏吗？ （从数学上来说，而不是表示为 scipy 稀疏矩阵）如果这个假设不成立，它会效率低下，甚至给出错误的结果吗？
• 在这些因素中进行选择时我还应该考虑其他因素吗？

第三个的特殊行为与兰佐斯算法 http://en.wikipedia.org/wiki/Lanczos_algorithm，这对于稀疏矩阵非常有效。的文档scipy.sparse.linalg.eig说它使用 ARPACK 的包装器，而 ARPACK 又使用“隐式重新启动 Arnoldi 方法 (IRAM)，或者在对称矩阵的情况下，使用 Lanczos 算法的相应变体”。(1) http://en.wikipedia.org/wiki/ARPACK.

现在，Lanczos 算法具有对于大特征值更有效的特性（事实上，它使用最大特征值）：

在实践中，这个简单的算法对于以下情况并不能很好地工作： 计算非常多的特征向量，因为任何舍入误差 往往会引入更重要的微小成分 特征向量回到计算中，降低了计算的准确性 计算。(2) http://en.wikipedia.org/wiki/Lanczos_algorithm

因此，虽然 Lanczos 算法只是一个近似值，但我猜其他两种方法使用 algos 来找到exact特征值——似乎所有特征值，这可能也取决于所使用的算法。