注意：本章内容简要，不涉及具体详细的数学推导，只简要介绍相关的数学理论
关键词：旋转矩阵，平移向量，变化矩阵，齐次线性坐标
在我的理解中，向量，表示的是两点之间的相对位置，就比如现在在一个坐标系中，有(1,0,0)向量l，在任何起点引出向量l，都会得到一个不同的终点，因此向量并不代表位置，而只是代表位移。
首先我们建立一个世界坐标系W，在这个世界坐标系里面我们定义了原点为O，XYZ三个轴的正方向以及每一个轴的量度，因此空间中的每一个点在W中都有唯一确定的坐标(x,y,z)，我们也可以理解为是一条从O点出发的向量。
然后我们在这个世界坐标系下取两个原点O1和O2，并以原点为出发点选取两组不同的基，形成相机坐标系C和图片坐标系P。
但向量只有有了原始的起点，向量才有意义，我们说可以拿三条不在同一个平面上的线段的组合，可以表示出所有的点，但三条向量，可以表示出所有的向量，但向量不是位置，没有起点，因此向量无法表示三维空间中的点。
所以此处我们首先把O1和O2全部移动到O点，那么两组基就可以用来表示该点，一组基可以理解为另一组基围绕某个旋转轴旋转得来，因此相对的整个坐标系中点的坐标也跟着旋转，我们使用P’ = RP（P为O1下的，P‘为O2下的）来表示这个关系，此处R即为旋转矩阵，R具有的性质：行列式为1的3*3正交矩阵，R RT = I。
在此基础上，我们再把O1，和 O2移动回原来的位置，其实如果把O1和O2移动相同的位置，那么R所表示的对应关系是不变的，因为
在此基础上，我们先把O1移动到原来位置，那么此时P‘不变，但是P的坐标改变了，变成了P1，P- t = P1, 所以 P’ = R（P1 + t） = R P1 + Rt ,P1为该点在坐标系P下的实际坐标，然后我们再把O2移动回来到其原始位置，可以得到 P’ - t’ = P2， P2 = R P1 + Rt + t’。
因此我们最终得到 P2 = RP1 + t 这样的方程式，注意这里的t要实际计算，因为里面涉及到了坐标的变换，不能直接把实际距离放进去，那样会出错。
但是由于这样表述不利于连续变换与多次叠加计算，因此我们给每个三维坐标后面加一维，设为1，形成四维的齐次线性坐标，把R和t融合在一个变换矩阵T里面，得到新的齐次方程：
P2 = TP1
其中得到的R矩阵的集合我们定义为特殊正交群 SO（3）
T矩阵的集合定义为特殊欧式群 SE（3）
当然由于SO（3）和SE（3）都是有特定约束的数学形式，我们想将其转换为没有特殊约束便于求解的形式，那就是我们下一章要讲的李群与李代数了，当然在下一章前，还希望各位同学能够理解数学分析中群的概念。
下一章节：李群与李代数
本文内容由网友自发贡献，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有涉嫌抄袭侵权的内容，请联系:hwhale#tublm.com(使用前将#替换为@)
