Chapter-3_概率分布

Chapter-3_概率分布

本文内容摘自：https://seeing-theory.brown.edu/probability-distributions/cn.html

概率分布描述了随机变量取值的规律。

1. 随机变量

随机变量是一个函数，它用数字来表示一个可能出现的事件。你可以定义你自己的随机变量，然后生成一些样本来观察它的经验分布。

点击或拉动选中右图中的一些六边形，然后在框中输入一个数字，点击提交，

生成你定义的随机变量的样本，观察相应的经验分布。

实验结果：

2. 离散型和连续型随机变量

常见的随机变量类型有两种：离散型和连续型随机变量

2.1 离散型随机变量

一个离散型随机变量可能的取值范围只有有限个或可列个值。离散型随机变量的定义是：如果X是一个随机变量，存在非负函数f(x)和F(X),使得
P ( X = x ) = f ( x ) P ( X < x ) = F ( x ) P(X=x) = f(x) \\ P(X < x) = F(x) P(X=x)=f(x)P(X<x)=F(x)

则称X是一个离散型随机变量。

选择下方离散型随机变量，右图会出现它的概率质量函数 f(x)（黄色）和分布函数F(x)（橙色）。调整滑块来改变分布函数。

2.1.1 伯努利分布

如果一个随机变量X只取值0或1，概率分布是
P ( X = 1 ) = p , P ( X = 0 ) = 1 − p P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p P(X=1)=p,P(X=0)=1−p
则称X符合伯努利分布(Bernoulli)。我们常用伯努利分布来模拟只有两种结果的试验，如抛硬币。

2.2 连续型随机变量

连续型随机变量可能取值的范围是一个无限不可数集合（如全体实数)。连续型随机变量的定义是：设X为随机变量，存在非负函数f(x)使得：
P ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ a b f ( x ) d x P ( X < x ) = F ( x ) P(a\leq X\leq b) =\int^b_a f(x) dx \\ P(X< x) = F(x) P(a≤X≤b)=∫ab​f(x)dxP(X<x)=F(x)
下面我们提供了一些常见的连续型随机变量，选择其中一个类型，右图会出现它的概率密度函数 f(x)（黄色）和分布函数 F(x)（橙色）。

2.2.1. 正太(Normal)分布

正态分布（也称高斯分布）的密度函数是一个钟形曲线。科学中常用正态分布来模拟许多小效应的叠加。比方说，我们知道人的身高是许多微小的基因和环境效应的叠加。因此可以用正态分布来表示人的身高，

2.2.2. Beta 分布

Beta分布是一族在[0,1]上的连续型概率分布，常用于贝叶斯统计中的共轭先验分布。

3. 中心极限定理

中心极限定理告诉我们，对于一个（性质比较好的）分布，如果我们有足够大的独立同分布的样本，其样本均值会（近似地）呈正态分布。样本数量越大，其分布与正态越接近。

你可以通过调节参数α和β来改变概率分布。

选择每组样本大小和抽取次数（样本均值的个数），然后点击“生成样本”。