一、 如果：
A
A
T
=
E
AA^T=E
AAT=E（E为单位矩阵，
A
T
A^T
AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或
A
T
A
=
E
A^TA=E
ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件： (1)
A
T
A^T
AT是正交矩阵 (2) E为单位矩阵 (3) A的各行是单位向量且两两正交 (4) A的各列是单位向量且两两正交 (5)
∣
A
∣
=
1
|A|=1
∣A∣=1或
−
1
-1
−1，
a
b
s
(
A
)
=
1
abs(A)=1
abs(A)=1 (6)
A
T
=
A
−
1
A^T=A^{-1}
AT=A−1 (7) 正交矩阵通常用字母Q表示。 二、特征向量的长度限制为1，这些特征向量组成的矩阵，首先，这些特征向量是单位向量，其次，这些特征向量是正交的。 三、内积是向量的一种运算。 （1）向量的数量积（点积）：
a
a
a和
b
b
b都是列向量，有
a
⋅
b
=
∣
a
∣
×
∣
b
∣
×
c
o
s
θ
a·b = |a| × |b| × cosθ
a⋅b=∣a∣×∣b∣×cosθ，这2个向量是2维或3维。 在3维空间中
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
⋅
(
y
1
,
y
2
,
y
3
)
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
x
3
y
3
(x_1,x_2,x_3)·(y_1,y_2,y_3)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3
(x1,x2,x3)⋅(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3 （2）内积是数量积的一种推广，用内积来定义n维向量的长度和夹角
(
a
⋅
b
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
.
.
.
+
a
n
b
n
(a·b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n
(a⋅b)=i=1∑naibi=a1b1+a2b2+...+anbn （3）n维向量
x
x
x的长度(或模)=
∣
∣
x
∣
∣
=
x
1
2
+
x
2
2
+
.
.
.
+
x
n
2
||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}
∣∣x∣∣=x12+x22+...+xn2，当
∣
∣
x
∣
∣
=
1
||x||=1
∣∣x∣∣=1时，称
x
x
x为单位向量。 （4）向量标准化 当
x
≠
0
时
，
x
∣
∣
x
∣
∣
x \neq 0时，\frac{x}{||x||}
x̸=0时，∣∣x∣∣x是一个单位向量，称这一运算为将向量
x
x
x标准化或单位化。 (5)向量夹角
c
o
s
θ
=
x
⋅
y
∣
∣
x
∣
∣
×
∣
∣
y
∣
∣
cos\theta=\frac{x·y}{||x||\times ||y||}
cosθ=∣∣x∣∣×∣∣y∣∣x⋅y
x
⋅
y
=
0
x·y=0
x⋅y=0表示
x
和
y
x和y
x和y正交，当
x
=
0
或
y
=
0
x=0或y=0
x=0或y=0则向量内积正交，零向量与任何向量都正交。
