图论之邻接矩阵

2023-05-16

路径规划系列文章目录

路径规划算法综述
图论基础介绍

路径规划系列文章目录

一、图的存储方式介绍

二、邻接矩阵介绍

三、邻接矩阵实现

四、总结

一、图的存储方式介绍

图的结构比较复杂，是非线性结构，任意两点都可能存在联系，相对来说存储方法较多。目前主要有：

邻接矩阵表示法
邻接表表示法
邻接多重表表示法
十字链表表示法

无论上述哪种存储方式，我们都要存储顶点和边的信息，在本系列文章中，我们介绍1,2两种表示法。

二、邻接矩阵介绍

邻接矩阵就是利用二维矩阵表示图中各顶点之间的关系，对于有n个顶点的图来说，用n阶方阵来表示该图，其中矩阵元素 $A_{ij}$ 表示从顶点 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 之间的边， $A_{ij}$ 的大小表示边的权值。如果顶点 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 没有边，则可以将 $A_{ij}$ 设置为0或者 $\infty$ 。

如下图所示，左边是一个无向图，右边是其对应的邻接矩阵，该图是无权图，因此有边的值都设置为1。

下面是有向图及其邻接矩阵

从上面可见，无向图的邻接矩阵是关于主轴对称的，第i行或第j列就是顶点 $v_{i}$ 的度（边数）。图中的边数为"1的个数"/2。对于有向图，由于其具有方向性，因此邻接矩阵一般是不对称的，第i行1的个数是顶点 $v_{i}$ 的出度，第i列1的个数是其入度。图的边数等于矩阵中1的个数。

对于带权图来说，只需要将1替换为边的权值即可，下面是带权图及其邻接矩阵。

其中， $\infty$ 表示没有边，可以是一个计算机能够接受的较大的值即可。

三、邻接矩阵实现

#include<iostream>
using namespace std;

#define INF 65535 //表示无穷大，其他合理的值也可
#define MaxVerNum  1000 //定义顶点最大数量

typedef int cellType; //定义邻接矩阵元素数据类型，即权值的数据类型

//定义图的类型分别为无向图，无向带权图，有向图，有向带权图 
typedef enum{
	UDG,UDN,DG,DN
}GraphKind; 


class GraphAdjMatrix
{
private: 
	int VerNum;//顶点数量 
	int ArcNum;//边数量 
	GraphKind gKind; //图类型 
	cellType** AdjMatrix;//邻接矩阵 
public:
	GraphAdjMatrix(); 
	void createGraph();//构建图	
	void GraphSet(int VerNum,int ArcNum,int kind);//图属性设置 
	int getVerNum() {return VerNum;}
	int getArcNum()	{return ArcNum;}
	GraphKind geyGraphKind() {return gKind;};
	void setMatrix(int i,int j,int w) ; //邻接矩阵设置 
	void printMatrix();//打印邻接矩阵 
};

GraphAdjMatrix::GraphAdjMatrix()//构造函数 
{
	AdjMatrix  = new cellType*[MaxVerNum];
	for(int i=0;i<MaxVerNum;i++)// 为邻接矩阵分配内存 
		AdjMatrix[i] = new cellType[MaxVerNum];
}

void GraphAdjMatrix::setMatrix(int i,int j,int w) 
{	
	AdjMatrix[i][j]=w; 
	if(gKind==UDG||gKind==UDN) //如果是无向图，则设置对称位置权重 
		AdjMatrix[j][i]=w;
};

void GraphAdjMatrix::createGraph()
{
	int vn,an,k;//分别代表顶点数量，边数量，以及图类型 
	cout<<"输入顶点数量,边数量，图类型用空格隔开"<<endl;
	cout<<"0-无向无权图 1-无向带权图 2-有向无权图 3-有向带权图"<<endl; 
	cin>>vn>>an>>k;
	VerNum = vn;
	ArcNum = an;
	gKind = (GraphKind)k;
	int i,j,w;
	
	//初始化邻接矩阵 
	for(int i=1;i<=vn;i++)
	{
		for(int j=1;j<=vn;j++)
		{
			AdjMatrix[i][j]=INF;
		}
	}
	/*无向图，无向带权图，有向图，有向带权图 */
	GraphKind gk;
	
	while(an--)
	{
		if (k == UDG || k == DG)//如果是无权图，则将边权重设为1 
		{
			cin>>i>>j;
			AdjMatrix[i][j]=1;
			if (k==UDG)//如果是无向图，对称位置设置权重 
				AdjMatrix[j][i]=1;
		}
		else
		{
			cin>>i>>j>>w;
			AdjMatrix[i][j]=w;
			if (k == UDN)//如果是无向图，对称位置设置权重 
				AdjMatrix[j][i]=w;
		}
	}
}

void GraphAdjMatrix::printMatrix()
{
	for(int i=1;i<=VerNum;i++)
	{
		for(int j=1;j<=VerNum;j++)
		{
			if (AdjMatrix[i][j]==INF)
				cout<<"*"<<"\t";
			else
				cout<<AdjMatrix[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}
}

int main()
{
	GraphAdjMatrix cg;
	cg.createGraph();
	cg.printMatrix();
	return 0;
}

四、总结

图的邻接矩阵表示的优点：非常直观，并且容易实现，编写算法也较简便，因而应用较广；根据矩阵元素Aij=1或0，便于判定两个顶点之间是否有边（弧）相连；计算顶点的度数，或有向图的入度、出度方便；计算图的边数算法简单等。

图的邻接矩阵表示的缺点：邻接矩阵事实上是一种顺序存储结构，具有顺序结构共有的缺点，比如：只能按最大空间需求申请内存空间、插入和删除顶点复杂等；空间复杂度高，n个顶点的图，存储邻接矩阵需要n2个单元，如果一个图的顶点数较多，但边（弧）数较少的话--稀疏图，邻接矩阵一样需要n2个存储单元，就太浪费存储空间；统计图的边数算法虽然简单，用双重循环统计“1”的个数即可，但其时间复杂度为O(n2)。

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