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【SLAM学习笔记4】卡方检验chi-square

2023-05-16

文章目录

  • 前言
  • 一、卡方分布
  • 二、卡方检验
    • 计算步骤
    • 关于自由度n
    • 查表
      • 检验统计量拒绝域内外判定：
    • 决策原则
  • 总结
  • Reference

前言

卡方分布和卡方检验在很多地方都会用到，尤其是统计学和数据分析里。

卡方检验(chi-square，记为χ2检验)是一种计数资料的假设检验方法，因为对总体的分布不作任何假设，故属于非参数检验。

第一次碰见是在ORB-SLAM2检验单应矩阵中。

现在在卡方检验重新梳理一下。

一、卡方分布

卡方检验是基于卡方分布的一种假设检验方法。
实际观察次数fo与理论（期望）次数fe之差的平方除以理论次数fe所得的值，近似服从卡方分布。

卡方检验的公式：

在这里插入图片描述

卡方分布的定义与性质：
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
E(X)：期望值；Var(X)：方差。

通常，Xn2密度函数的定义域为（0，+∞），且自由度n越大，其密度曲线越趋近于对称；n越小，曲线越不对称。

若X ~ Xn2，记 P (x＞c) = α， 则 c = Xn2(α) 则称为Xn2分布的上侧α分位数，如下图所示，gn(x)是Xn2的密度函数。

注：显著性水平是：估计总体参数落在某一区间内，可能犯错误的概率，用α表示。

当α和n给定时，可查表得到 Xn2(α)的值。如 X102(0.01) = 23.209， X52(0.05) = 12.592等。
在这里插入图片描述

二、卡方检验

卡方检验(chi-square，记为χ2检验)是一种计数资料的假设检验方法，因为对总体的分布不作任何假设，故属于非参数检验。

根本思想：比较实际频次fo与理论频次fe的吻合程度或拟合优化问题

在这里插入图片描述

使用的情况：当事实与期望不符合情况下使用卡方分布进行检验，看是否系统出了问题，还是属于正常波动。利用卡方分布分析结果，排除可疑结果。

作用：主要用于比较两个及两个以上的样本率或分类变量的关联性分析。检查实际结果与期望结果之间何时存在显著差异。

  1. 检验拟合程度：可以检验一组给定数据与指定分布的吻合程度。如：检验抽奖机收益的观察频数与我们所期望的吻合程度。
  2. 检验两个变量的独立性：通过这个方法，检查变量之间是否存在某种关系。

步骤:

  1. 确定要进行检验的假设H0，及其备择假设H1.
  2. 求出期望E.
  3. 确定用于做决策的拒绝域（右尾）.
  4. 根据自由度和显著性水平查询检验统计量临界值.
  5. 查看检验统计量是否在拒绝域内.
  6. 做出决策.

显著性水平是：估计总体参数落在某一区间内，可能犯错误的概率，用α表示。
显著性水平是假设检验中的一个概念，是指当原假设为正确时人们却把它拒绝了的概率或风险。它是公认的小概率事件的概率值，必须在每一次统计检验之前确定，通常取α=0.05或α=0.01。这表明，当作出接受原假设的决定时，其正确的可能性（概率）为95%或99%。

检测标准：卡方分布检验是单尾检验且是右尾，右尾被作为拒绝域。于是通过查看检验统计量是否位于右尾的拒绝域以内，来判定期望分布得出结果的可能性。

在这里插入图片描述

计算步骤

期望频数总和与观察频数总和相等

  1. 表里填写相应的观察频数和期望频数

期望频数 = 观察频数总和*出现某种结果的概率，其实就是求期望值。
如下表的，X= -2的期待频数为977。
在这里插入图片描述

  1. 利用卡方公式计算检验统计量

在这里插入图片描述
检验统计量X2意义：fo与fe之间差值越小，检验统计量X2越小。
卡方检验的标准：如果统计量值X2很小，说明实际观察频数和期望频数之间的差别不显著；统计量越大，差别越显著。故还是越小越好。

按观察频率和期望频率表（上表），计算检验统计量X2：

在这里插入图片描述

关于自由度n

自由度：用于计算检验统计量的独立变量的数目。

在这里插入图片描述
规律：

  1. 当自由度等于1或者2时：卡方分布先高后低的平滑曲线，检验统计量等于较小值的概率远远大于较大值
    的概率，即观察频数有可能接近期望频数。
  2. 当自由度大于2时：卡方分布先低后高再低，其外形沿着正向扭曲，但当自由度很大时，图形接近正态分
    布。

自由度的计算：
对于单行或单列：自由度 = 组数 - 限制数

对于表格类：自由度 = (行数 - 1) * (列数 - 1)

在这里插入图片描述

查表

在这里插入图片描述

检验统计量拒绝域内外判定：

  1. 求出检验统计量a
  2. 通过自由度和显著性水平查到拒绝域临界值b
  3. a>b则位于拒绝域内；反之，位于拒绝域外。

例子：
假设自由度为4， 5%的显著水平，查表得到其拒绝域是9.49，也就是说检验统计量大于9.49位于拒绝域内。
按上面计算得到的检验统计量X2 = 38.272 > 9.49 位于拒绝域内。

决策原则

如果位于拒绝域内我们拒绝原假设H0，接受H1。
如果不在拒绝域内我们接受原假设H0，拒绝H1。

上述，因为检验统计量38.272 > 9.49 位于拒绝域内，所以拒绝原假设，接受备择假设。

比如，
原假设H0是：机器没有故障，一切正常
备择假设H1：机器故障，违反常规。

总结

本文为了ORB-SLAM2中的一些卡方检测（例如，剔除外点策略）而准备。

Reference

  1. https://blog.csdn.net/jinxiaonian11/article/details/78617936（卡方分布分析与应用）
  2. https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82735201（三大抽样分布：卡方分布，t分布和F分布的简单理解）【重点】
  3. @计算机视觉life课程（yyds）
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