泰勒公式（泰勒展开式）通俗介绍＋本质详解

2023-05-16

比较通俗地讲解一下泰勒公式是什么。

泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值

所以泰勒公式是做什么用的？

简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)，注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数，想求其某点的值，直接求无法实现，这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值，这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。

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1. 问题的提出

多项式是最简单的一类初等函数。关于多项式，由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具。因此我们经常用多项式来近似表达函数。这也是为什么泰勒公式选择多项式函数去近似表达给定的函数。

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2. 近似计算举例

初等数学已经了解到一些函数如：的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样来计算它们，以 f(x) = $\small \cos x$ 的近似计算为例：

①. 一次（线性）逼近

利用微分近似计算公式 f(x) $\small \approx$ f( $\small x_{0}$ ) + ${f}'$ ( $\small x_{0}$ )(x - $\small x_{0}$ ) (该式由导数/微分的极限表达公式转换得到)，对 $\small x_{0}$ = 0 附近的 f(x) 的线性逼近为： f(x) $\small \approx$ f(0) + ${f}'$ (0) x , 所以 f(x) = $\small \cos x$ $\small \approx$ 1，所以 f(x) 在 $\small x_{0}$ = 0 附近的线性逼近函数 $P_{1}$ (x) = 1，如下图：

线性逼近优点：形式简单，计算方便；缺点：离原点O越远，近似度越差。

②. 二次逼近

二次多项式逼近 f(x) = $\small \cos x$ ，我们期望：

$\small P_{2}\left ( 0 \right )$ = $\small f\left ( 0 \right )$ = $\small \cos 0$ = 1 = $\small a_{0}$ ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 )；

$\small {P_{2}}'\left ( 0 \right )$ = $\small f{}'\left ( 0 \right )$ = $\small \sin 0$ = 0 = $\small a_{1}$ ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 )；

$\small {P_{2}}''\left ( 0 \right )$ = $\small {f}''\left ( 0 \right )$ = $\small -\cos 0$ = -1，所以 $\small a_{2}$ = $\small -\frac{1}{2}$ ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 )；

所以 $\small \cos x$ $\small \approx$ $\small P_{2}\left ( x \right )$ = 1 - $\small \frac{x^{2}}{2}$ ，如下图：

二次逼近要比线性逼近好得多，但局限于 [ $\small -\frac{\pi }{2}$ ， $\small \frac{\pi }{2}$ ] 内，该范围外，图像明显差异很大。为什么我们期望两个函数在某一点的函数值、一阶导数值、二阶导数值相等？因为这些值表达了函数(图像)最基本和最主要的性质，这些性质逼近即可以使得两个函数逼近(由上面函数图像可以直观地看出来)

③. 八次逼近

八次多项式逼近 f(x) = $\small \cos x$ ，我们期望：

$\small P_{8}\left (0 \right ) = f\left ( 0 \right )$ ，求出 $\small a_{0} = 1$ ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 )；

$\small {P_{8}}'\left ( 0 \right ) = {f\left ( 0 \right )}'$ ，求出 $\small a_{1} = 0$ ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 )；

.... .... ....

$\small {P_{8}}^{(8)}\left ( 0 \right ) = f^{(8)}(0)$ ，求出 $\small a_{8} = \frac{1}{8!}$ ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 )；

所以，如下图：

$\small P_{8}\left ( x \right )$ (绿色图像) 比 $\small P_{2}\left ( x \right )$ (蓝色图像) 更大范围内更接近余弦函数 (红色图像)

由上述3次不同程度的函数逼近可以看出：对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式。

以上就是利用多项式函数去逼近给定函数的一个过程。

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3. 泰勒公式的推导

由此引出一个问题：给定一个函数 $\small f\left ( x \right )$ ，要找一个在指定点 $\small x_{0}$ 附近与 $\small f\left ( x \right )$ 很近似的多项式函数 $\small P\left ( x \right )$ ，记为：

使得 $\small f\left ( x \right )$ $\small \approx$ $\small P_{n}\left ( x \right )$ 并且使得两者误差 $\small R_{n}\left ( x \right ) = f\left ( x \right ) - P_{n}\left ( x \right )$ 可估计。所以要找的多项式应该满足什么条件，误差是什么？

从几何上看， $\small y = f\left ( x \right )$ ， $\small y = P_{n}\left ( x \right )$ 代表两条曲线，如下图：

使它们在 $\small x_{0}$ 附近很靠近，很明显：

1. 首先要求两曲线在 $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ 点相交，即 $\small P_{n}\left ( x_{0} \right ) = f\left ( x_{0} \right )$

2. 如果要靠得更近，还要求两曲线在 $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ 点相切，(由图像可以直观看出，相交 [ 棕色和红色图像 ] 和相切 [ 绿色和红色图像 ]，两曲线在 $\small x_{0}$ 附近的靠近情况明显差异很大，相切更接近)，即 $\small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )$

3. 如果还要靠得更近，还要求曲线在 $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ 点弯曲方向相同，(如上图，弯曲方向相反 [ 绿色和红色图像 ]；弯曲方向相同[ 蓝色和红色图像 ]，明显在离 $\small x_{0}$ 很远的地方，弯曲方向相同两函数的差异更小一点)，即 $\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right )$ ，进而可推想：若在 $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ 附近有 $\small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )$ ， $\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right )$ $\small \cdots \cdots \cdots$ $\small P_{n}^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right ) = f^{n}\left ( x_{0} \right )$ ，近似程度越来越好。

综上所述，所要找的多项式应满足下列条件：

解释一下上面的转换时如何做的，以上面第三行的二阶导数为例：

第一个箭头的转换：将 $\small P_{n}\left ( x \right )$ 求二阶导函数后将 $\small x_{0}$ 带入，求得 $\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2}$

第二个箭头的转换：所以 $\small {f}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2}$ ，所以 $\small a_{2} = \frac{1}{2!}{f}''\left ( x_{0} \right )$

多项式函数中的系数 $\small a$ 可以全部由 $\small f\left ( x \right )$ 表示，则得到：

其中误差为 $\small R_{n} \left ( x \right ) = f\left (x \right ) - P_{n}\left ( x \right )$ 。因为是用多项式函数去无限逼近给定的函数，所以两者之间肯定存在一丢丢的误差。

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4. 泰勒公式的定义

所以我们就得到了泰勒公式的定义：

如果函数 $\small f\left ( x \right )$ 在含 $\small x_{0}$ 的某个开区间 $\small \left ( a,b \right )$ 内具有直到 $\small \left ( n+1 \right )$ 阶导数，则对 $\small \forall x \in \left ( a,b \right )$ ，有

其中余项 (即误差) $\small R_{n}\left ( x \right ) = \frac{f^{\left ( n+1 \right )}(\xi )}{\left ( n+1 \right )!}(x-x_{0})^{n+1}$ ， $\xi$ 在 $\small x_{0}$ 与 x 之间。泰勒公式的余项表达方式有好几种，前面这种表是方法称为n阶泰勒展开式的拉格朗日余项。拉格朗日余项即是n阶泰勒公式又多展开了一阶，n变为n+1。注意，这里的余项即为误差，因为使用多项式函数在某点展开，逼近给定函数，最后肯定会有一丢丢的误差，我们称之为余项。

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5. 扩展 —— 麦克劳林公式

是泰勒公式的一种特殊情况：即当 $\small x_{0} = 0$ 时的泰勒公式。所以将 $\small x_{0} = 0$ 带入公式，即得：

几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

佩亚诺余项为 $\small \left ( x-x_{0} \right )^{n}$ 的高阶无穷小：

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