Dijkstra算法图文详解

Dijkstra算法算是贪心思想实现的，首先把起点到所有点的距离存下来找个最短的，然后松弛一次再找出最短的，所谓的松弛操作就是，遍历一遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近，如果更近了就更新距离，这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

这样一个有权图，Dijkstra算法可以计算任意节点到其他节点的最短路径

算法思路

1.指定一个节点，例如我们要计算 ‘A’ 到其他节点的最短路径

2.引入两个集合（S、U），S集合包含已求出的最短路径的点（以及相应的最短长度），U集合包含未求出最短路径的点（以及A到该点的路径，注意 如上图所示，A->C由于没有直接相连 初始时为∞）

3.初始化两个集合，S集合初始时 只有当前要计算的节点，A->A = 0，U集合初始时为 A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞，敲黑板！！！接下来要进行核心两步骤了

4.从U集合中找出路径最短的点，加入S集合，例如 A->D = 2

5.更新U集合路径，if ( ‘D 到 B,C,E 的距离’ + ‘AD 距离’ < ‘A 到 B,C,E 的距离’ ) 则更新U

6.循环执行 4、5 两步骤，直至遍历结束，得到A 到其他节点的最短路径

算法图解

1.选定A节点并初始化，如上述步骤3所示

2.执行上述 4、5两步骤，找出U集合中路径最短的节点D 加入S集合，并根据条件 if ( ‘D 到 B,C,E 的距离’ + ‘AD 距离’ < ‘A 到 B,C,E 的距离’ ) 来更新U集合

3.这时候 A->B, A->C 都为3，没关系。其实这时候他俩都是最短距离，如果从算法逻辑来讲的话，会先取到B点。而这个时候 if 条件变成了 if ( ‘B 到 C,E 的距离’ + ‘AB 距离’ < ‘A 到 C,E 的距离’ ) ，如图所示这时候A->B距离 其实为 A->D->B

例二.这个图表示的也非常清楚。
(以第4个顶点D为起点)

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！
第1步：将顶点D加入到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

第2步：将顶点C加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(13),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：将顶点E加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(13),F(6),G(12)}。

第4步：将顶点F加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：将顶点G加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：将顶点B加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：将顶点A加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

Dijkstra算法与路径规划

Dijkstra算法是很有代表性的最短路径规划算法。一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式，路径规划采用OPEN,CLOSE表的方式。

大概过程：
创建两个表，OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
1． 访问路网中里起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN组中等待检查。
2． 从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到CLOSE表中。
3． 遍历考察这个点的子节点。求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到OPEN表中。
4． 重复2，3，步。直到OPEN表为空，或找到目标点。

这是在drew 程序中4000个节点的随机路网上Dijkstra算法搜索最短路的演示，黑色圆圈表示经过遍历计算过的点由图中可以看到Dijkstra算法从起始点开始向周围层层计算扩展，在计算大量节点后，到达目标点。所以速度慢效率低。

提高Dijkstra搜索速度的方法很多，据Drew所知，常用的有数据结构采用Binary heap的方法，和用Dijkstra从起始点和终点同时搜索的方法。

代码实现:

/*
测试数据 教科书 P189 G6 的邻接矩阵 其中 数字 1000000 代表无穷大
6
1000000 1000000 10 100000 30 100
1000000 1000000 5 1000000 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 50 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 10
1000000 1000000 1000000 20 1000000 60
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000
结果：
D[0]   D[1]   D[2]   D[3]   D[4]   D[5]
 0   1000000   10     50     30     60
*/
#include <stdio.h>
#define MAX 1000000

int arcs[10][10];//邻接矩阵
int D[10];//保存最短路径长度
int p[10][10];//路径
int final[10];//若final[i] = 1则说明 顶点vi已在集合S中
int n = 0;//顶点个数
int v0 = 0;//源点
int v,w;
void ShortestPath_DIJ()
{
    for (v = 0; v < n; v++) //循环 初始化
    {
        final[v] = 0; D[v] = arcs[v0][v];
        for (w = 0; w < n; w++) p[v][w] = 0;//设空路径
        if (D[v] < MAX) {p[v][v0] = 1; p[v][v] = 1;}
    }
    D[v0] = 0; final[v0]=1; //初始化 v0顶点属于集合S
    //开始主循环 每次求得v0到某个顶点v的最短路径 并加v到集合S中
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int min = MAX;
        for (w = 0; w < n; w++)
        {
            //我认为的核心过程--选点
            if (!final[w]) //如果w顶点在V-S中
            {
                //这个过程最终选出的点 应该是选出当前V-S中与S有关联边
                //且权值最小的顶点 书上描述为 当前离V0最近的点
                if (D[w] < min) {v = w; min = D[w];}
            }
        }
        final[v] = 1; //选出该点后加入到合集S中
        for (w = 0; w < n; w++)//更新当前最短路径和距离
        {
            /*在此循环中 v为当前刚选入集合S中的点
               则以点V为中间点 考察 d0v+dvw 是否小于 D[w] 如果小于 则更新
               比如加进点 3 则若要考察 D[5] 是否要更新 就 判断 d(v0-v3) + d(v3-v5) 的和是否小于D[5]
               */
            if (!final[w] && (min+arcs[v][w]<D[w]))
            {
                D[w] = min + arcs[v][w];
                // p[w] = p[v];
                p[w][w] = 1; //p[w] = p[v] +　[w]
            }
        }
    }
}


int main()
{
    freopen("./Dijkstra.txt", "r", stdin);
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            scanf("%d", &arcs[i][j]);
        }
    }
    ShortestPath_DIJ();
    for (int i = 0; i < n; i++) printf("D[%d] = %d\n",i,D[i]);
    return 0;
}

单源Dijkstra

参考:
https://www.jianshu.com/p/ff6db00ad866

https://blog.csdn.net/lbperfect123/article/details/84281300

https://blog.csdn.net/yalishadaa/article/details/55827681

https://www.cnblogs.com/guxuanqing/p/9610780.html

https://blog.csdn.net/weixin_44574633/article/details/116599738?spm=1001.2101.3001.6650.11&utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7ECTRLIST%7Edefault-11.no_search_link&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7ECTRLIST%7Edefault-11.no_search_link