已知连续两帧位姿真值为
R
1
R_1
R1、
R
2
R_2
R2、
t
1
t_1
t1和
t
2
t_2
t2，它们都是按照
T
W
C
T_{WC}
TWC的格式存储的，即记录从当前相机坐标系到世界坐标系的变换矩阵作为相机此刻的位姿。那么两帧之间变换矩阵真值
T
21
T_{21}
T21为？
解答：
方法1
按照代点法来求解，假设在1时刻相机坐标系中记录了一个三维点坐标
P
1
P_1
P1，求该点在2时刻相机坐标系下的坐标值
P
2
P_2
P2。
由题意有如下等式，
P
W
=
R
1
⋅
P
1
+
t
1
(1)
P_W=R_1\cdot P_1+t_1 \tag{1}
PW=R1⋅P1+t1(1)
P
W
=
R
2
⋅
P
2
+
t
2
(2)
P_W = R_2 \cdot P_2 + t_2 \tag{2}
PW=R2⋅P2+t2(2)
其中
P
W
P_W
PW表示该三维点在世界坐标系下的坐标值。联立公式（1）和公式（2），可以得到，
P
2
=
R
2
T
R
1
P
1
+
R
2
T
(
t
1
−
t
2
)
P_2=R_2^TR_1P_1+R_2^T(t_1-t_2)
P2=R2TR1P1+R2T(t1−t2)
故，
R
21
=
R
2
T
R
1
R_{21}=R_2^TR_1
R21=R2TR1
t
21
=
R
2
T
(
t
1
−
t
2
)
t_{21}=R_2^T(t_1-t_2)
t21=R2T(t1−t2)
方法2
由题意，已知
T
1
T_1
T1和
T
2
T_2
T2，求
T
21
T_{21}
T21，
T
1
T
21
T
=
T
2
T_1T_{21}^T=T_2
T1T21T=T2
则，
T
21
=
T
2
T
T
1
T_{21}=T_2^TT_1
T21=T2TT1
[
R
21
t
21
0
1
]
=
[
R
2
T
−
R
2
T
t
2
0
1
]
⋅
[
R
1
t
1
0
1
]
\begin{bmatrix} R_{21} & t_{21} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_2^T & -R_2^Tt_2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} R_1 & t_1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
[R210t211]=[R2T0−R2Tt21]⋅[R10t11]
=
[
R
2
T
R
1
R
2
T
(
t
1
−
t
2
)
0
1
]
=\begin{bmatrix} R_2^TR_1 & R_2^T(t_1-t_2) \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
=[R2TR10R2T(t1−t2)1]
故，
R
21
=
R
2
T
R
1
R_{21}=R_2^TR_1
R21=R2TR1
t
21
=
R
2
T
(
t
1
−
t
2
)
t_{21}=R_2^T(t_1-t_2)
t21=R2T(t1−t2)
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