散度和旋度的物理意义是什么？

2023-05-16

高等数学学的时间有点久远了，最近需要推倒一些公式，以前高数学的时候这公式那定理的都没说什么物理意义，现在接触的问题都是具有一定物理意义的，感觉对不上，回来找找资料好好理解一下，在知乎上看到一些比较通俗易懂的答案，所以摘抄到这里给大家分享一下。

梯度的旋度问题

梯度的旋度不为零得话。。

我通俗地说一下矢量场那个吧。矢量场的旋度是用来描述场围绕中心旋转的程度的量，就是看一堆矢量绕中心转圈的部分多不多，是多少。而散度描述的是一堆矢量发散，也就是远离中心或者靠近中心(指向中心)的部分。在同一点上，分别被切向分量(绕圈)和径向分量(发散)来表示。这俩货相互垂直啊！所以乘起来就得零喽。物理意义举个例子，比如一坨质点在一个场中运动，对于速度矢量先旋度后散度的运算就是问你这一坨质点相对中心的角速度(也就是切向线速度)会让他在多大程度上远离中心。废话，当然是零了...

【电磁场】0.亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理是刻画电磁场唯一性的基本定理。

空间的一个矢量场由其散度、旋度和定解条件唯一确定。

更具体地说，一个矢量场可以表示为一个无旋的散度场和一个无散的旋度场的叠加。即

$A=A_1+A_2$ 。其中 $\nabla \times A_1=0,\nabla \cdot A_2=0$ 。若记 $\nabla \cdot A_1=\rho, \nabla \times A_2=J$ 分别为矢量场的通量源和旋涡源，则矢量场 $A$ 的源分布为

$\nabla \cdot A=\nabla \cdot A_1=\rho$ ， $\nabla \times A=\nabla \times A_2=J$

如果再给定了定解条件，矢量场 $A$ 就唯一地确定了。

亥姆霍兹定理是研究电磁场理论的主线。无论是静态场还是时变场，都是围绕着其散度、旋度和边界条件展开分析的。电磁场的Maxwell方程组也正是给出了电场 $E$ 和磁场 $B$ 的散度和旋度，结合具体问题的定解条件，理论上就可以求解所有的宏观电磁场问题。

$\nabla \cdot E=\frac{1}{\varepsilon }\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}V}$
$\nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$
$\nabla \cdot B=0$
$\nabla \times B=\mu \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S}+\mu \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t}$

以下分别讨论场的散度，场的旋度和场的定解条件这三个概念。

1.场的散度

将矢量场垂直穿过某一曲面的量称为通量。综合考虑矢量场方向和曲面方向，以点积的形式进行定义。

$\phi =\int_{S}^{} \overrightarrow{A} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$

现在假设曲面是封闭的，那么曲面S就包围着一块空间区域V。容易理解，矢量场穿过封闭面S的通量应该是由场在区域V内的所有源产生（或吸收）的量的代数和。这个源就定义为场在某一点的散度，它表示场在空间一点的产生量（或吸收量）。

根据散度的定义，令体积V收缩至某一点M，可以得到散度在直角坐标中的计算公式

$\lim_{\Delta V \rightarrow 0}{\frac{\Delta \phi }{\Delta V}}=\nabla \cdot \overrightarrow{A}= \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

即散度等于场函数在各个方向上的分量在其所在方向的变化率之和。

高斯公式揭示了通量和通量源（散度）的关系：

$\oiint_{S}^{} \overrightarrow{A} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\iiint_V (\nabla \cdot \overrightarrow{A}) \mathrm{d}V$

2.场的旋度

将矢量场平行沿某一闭合曲线绕行的量称为环量。综合考虑矢量场方向和曲线方向，以点积的形式进行定义。

$\Gamma =\oint_{l}^{} \overrightarrow{A} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}$

现在考虑这条曲线所围成的曲面。最简单的一种情况是，以该曲线为周界的曲面在通过该曲线的平面内（对于其他以该曲线为轮廓的面，其投影都是这个“最小”的面）。从而，在矢量场沿某一闭合曲线绕行的环量，是这条曲线所围成曲面内矢量场旋转强度的加和。即

$\oint_{l}^{} \overrightarrow{A} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=\iint_S (\nabla \times \overrightarrow{A}) \mathrm{d}\overrightarrow{S}$ （斯托克斯公式）

那么怎样计算旋转强度 $\nabla \times A$ 呢？这需要讨论矢量场在各个空间方向上的旋转程度。首先，考虑矢量场A在x方向的旋转程度。由方向x表示的这个旋转程度实际上是yOz平面上的旋转程度，显然，这是由 $\frac{\partial A_y}{\partial z}$ 和 $\frac{\partial A_z}{\partial y}$ 这两项决定的。考虑到 $\frac{\partial A_y}{\partial z}$ 和 $\frac{\partial A_z}{\partial y}$ 对矢量场A在yOz平面上旋转程度的贡献方向相反，根据右手定则可以确定矢量场A在x方向的旋度分量为

$(\nabla \times A)_x=\frac{\partial A_y}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial y}$

同理可得

$(\nabla \times A)_y=\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z}$
$(\nabla \times A)_z=\frac{\partial A_x}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial x}$

这可以用理论分析来说明。令曲线圈越来越小，收缩到一点M，得到旋度在直角坐标中的计算公式为

$\lim_{S \rightarrow 0}{\frac{\Delta \Gamma}{\Delta S}}= \nabla \times \overrightarrow{A} =\left(\frac{\partial A_y}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial y},\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z},\frac{\partial A_x}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial x}\right)$

这与推理结果是一致的。

3.场的定解条件

通过场的散度和旋度求解场的表达式是一个积分过程。只有给出定解条件，才能确定积分过程中产生的任意积分常数。定解条件分为空间上的边界条件和时间上的初始条件。

位函数

一个矢量的位函数是这样的一种函数，它的变化率（可以是梯度、旋度、散度）等于该矢量。例如，电位函数 $\varphi$ 满足

$E=-\nabla \varphi$ 或 $\varphi (x)=\int _{x}^{\infty }E\cdot \mathrm{d}l$

动态位函数A满足

$B=\nabla \times A$

位函数相当于是矢量函数的积分。由于提前进行了一步积分，因此它在求解某些问题时比直接求解场量要简单一些。同时，位函数也能用于描述场在边界上的定解条件。

场的定解条件有三类，分别是在边界（包括时间边界和空间边界）上的位函数值，在边界上位函数的法向导数，以及这两者的线性组合。

当空间中只有一种有限分布的场时，定解条件就是边界条件和初始条件。若场的分布区域及于无限远，则需要给出无穷远处的边界条件（特别地，当场源分布有限时，有所谓的自然边界条件，即位函数在无穷远处为有限值）。若空间中存在多种场，则需要给出不同场边界上的的衔接条件。

给定了这些条件，就可建立定解问题。求解这个定解问题，电磁场的分布问题从理论上来说就得到了解决。而这一切的依据就是亥姆霍兹定理。

散度和旋度常用关系式

更多信息请参见

http://boson4.phys.tku.edu.tw/fundamentals_of_math_phys/unit-03_Vector__grad-div-curl_n_coord-sys.html

最后，要说的是知乎是个好东西，好多学术性比较抽象的东西，知乎上有通俗易懂的解释。强烈推荐！！！
作者：Grit
链接：https://www.zhihu.com/question/29970414/answer/46292024
来源：知乎
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