参考文献
MIMO RADAR SIGNAL PROCESSING
以下为我自己的理解，如有问题，请指出
MIMO radar与相控阵雷达区别在于MIMO中的各天线可以传输不同的波形，实现波形分集，空间复用；相控阵雷达每根天线发的是同一个信号。
假设发送的基带信号为
∑
m
=
1
M
t
e
−
j
2
π
f
0
τ
m
(
θ
)
x
m
(
n
)
≜
a
∗
(
θ
)
x
(
n
)
,
n
=
1
,
…
,
N
\sum_{m=1}^{M_{t}} e^{-j 2 \pi f_{0} \tau_{m}(\theta)} x_{m}(n) \triangleq \mathbf{a}^{*}(\theta) \mathbf{x}(n), \quad n=1, \ldots, N
m=1∑Mte−j2πf0τm(θ)xm(n)≜a∗(θ)x(n),n=1,…,N
f
0
f_{0}
f0 载频,
τ
m
(
θ
)
\tau_{m}(\theta)
τm(θ) 是第m根天线的时延差,
(
⋅
)
∗
(\cdot)^{*}
(⋅)∗ 表示共轭,
N
N
N 是采样数，可能是快拍数。
x
(
n
)
=
[
x
1
(
n
)
x
2
(
n
)
⋯
x
M
t
(
n
)
]
T
\mathbf{x}(n)=\left[x_{1}(n) \quad x_{2}(n) \cdots x_{M_{t}}(n)\right]^{T}
x(n)=[x1(n)x2(n)⋯xMt(n)]T
接收信号这样表示
y
(
n
)
=
∑
k
=
1
K
β
k
b
c
(
θ
k
)
a
∗
(
θ
k
)
x
(
n
)
+
ϵ
(
n
)
,
n
=
1
,
…
,
N
\mathbf{y}(n)=\sum_{k=1}^{K} \beta_{k} \mathbf{b}^{c}\left(\theta_{k}\right) \mathbf{a}^{*}\left(\theta_{k}\right) \mathbf{x}(n)+\epsilon(n), \quad n=1, \ldots, N
y(n)=k=1∑Kβkbc(θk)a∗(θk)x(n)+ϵ(n),n=1,…,N
b
(
θ
)
=
[
e
j
2
π
f
0
τ
~
1
(
θ
)
e
j
2
π
f
0
τ
~
2
(
θ
)
⋯
e
j
2
π
f
0
τ
~
M
r
(
θ
)
]
T
\mathbf{b}(\theta)=\left[\begin{array}{lll} e^{j 2 \pi f_{0} \tilde{\tau}_{1}(\theta)} & e^{j 2 \pi f_{0} \tilde{\tau}_{2}(\theta)} \cdots e^{j 2 \pi f_{0} \tilde{\tau}_{M_{r}}(\theta)} \end{array}\right]^{T}
b(θ)=[ej2πf0τ~1(θ)ej2πf0τ~2(θ)⋯ej2πf0τ~Mr(θ)]T
τ
~
m
(
θ
)
\tilde{\tau}_{m}(\theta)
τ~m(θ) 是反射回波在
θ
\theta
θ处到达第m根接收天线的时间差，
K
K
K是目标数，
β
\beta
β是反射截面系数。
由于发射的波形相互独立，所以我们估计参数时与数据无关，上式可以写成
A
β
A\beta
Aβ。
β
=
[
β
1
⋯
β
K
]
T
A
=
[
a
c
(
θ
1
)
⊗
b
c
(
θ
1
)
⋯
a
c
(
θ
K
)
⊗
b
c
(
θ
K
)
]
\begin{aligned} \boldsymbol{\beta} &=\left[\beta_{1} \cdots \beta_{K}\right]^{T} \\ \mathbf{A} &=\left[\mathbf{a}^{c}\left(\theta_{1}\right) \otimes \mathbf{b}^{c}\left(\theta_{1}\right) \cdots \mathbf{a}^{c}\left(\theta_{K}\right) \otimes \mathbf{b}^{c}\left(\theta_{K}\right)\right] \end{aligned}
βA=[β1⋯βK]T=[ac(θ1)⊗bc(θ1)⋯ac(θK)⊗bc(θK)]
⊗ \otimes ⊗ 表示Krönecker product , a c ⊗ b c \mathbf{a}^{c} \otimes \mathbf{b}^{c} ac⊗bc 表示MIMO雷达中的虚拟阵列。
考虑一个均匀线性阵列，
发射天线等于接收天线数，即 M t = M r = M M_t=M_r=M Mt=Mr=M，虚拟天线数 2 ∗ M − 1 2*M-1 2∗M−1，为 1 , e − j ω , … , e − j ( 2 M − 1 ) ω 1,e^{-j \omega}, \ldots, e^{-j(2 M-1) \omega} 1,e−jω,…,e−j(2M−1)ω, 其中 ω = 2 π f 0 τ ( θ ) \omega=2 \pi f_{0} \tau(\theta) ω=2πf0τ(θ)。
M t ≠ M r M_t \neq M_r Mt=Mr，发射天线和接收天线间距相等，虚拟天线数 M t + M r − 1 M_t +M_r-1 Mt+Mr−1
文中给出的是没有共享天线，我理解就是如果接收天线和发射天线间距不等，虚拟天线数为 M t ∗ M r M_t *M_r Mt∗Mr
b c ( θ ) = [ 1 e − j ω ⋯ e − j ( M r − 1 ) ω ] T \mathbf{b}^{c}(\theta)=\left[\begin{array}{llll} 1 & e^{-j \omega} & \cdots & e^{-j\left(M_{r}-1\right) \omega} \end{array}\right]^{T} bc(θ)=[1e−jω⋯e−j(Mr−1)ω]T
a c ( θ ) = [ 1 e − j M r ω ⋯ e − j ( M t − 1 ) M r ω ] T \mathbf{a}^{c}(\theta)=\left[\begin{array}{llll} 1 & e^{-j M_{r} \omega} & \cdots & e^{-j\left(M_{t}-1\right) M_{r} \omega} \end{array}\right]^{T} ac(θ)=[1e−jMrω⋯e−j(Mt−1)Mrω]T
b c ( θ ) ⊗ a c ( θ ) = [ 1 e − j ω ⋯ e − j ( M t M r − 1 ) ω ] T \mathbf{b}^{c}(\theta) \otimes \mathbf{a}^{c}(\theta)=\left[\begin{array}{llll} 1 & e^{-j \omega} & \cdots & e^{-j\left(M_{t} M_{r}-1\right) \omega} \end{array}\right]^{T} bc(θ)⊗ac(θ)=[1e−jω⋯e−j(MtMr−1)ω]T
Let
c
(
θ
)
\mathbf{c}(\theta)
c(θ) denote a (generic) column of
A
\mathbf{A}
A, 这句话我的理解是不同的目标回来的回波在不同的列上。
L
c
L_{c}
Lc 表示
c
(
θ
)
\mathbf{c}(\theta)
c(θ)的维度.
L
c
∈
[
M
t
+
M
r
−
1
,
M
t
M
r
]
L_{c} \in\left[M_{t}+M_{r}-1, M_{t} M_{r}\right]
Lc∈[Mt+Mr−1,MtMr]
参考下面这篇文献，与目标数有这样的关系
J. Li, P. Stoica, L. Xu, and W. Roberts, On parameter identifiability of MIMO radar, IEEE
Signal Process. Lett. 14(12):968– 971 (Dec. 2007).
