线性代数 --- 置换矩阵 (Permutation matrix）

2023-10-26

置换矩阵就是重新排列后的单位矩阵

对一个矩阵进行行交换，需要通过置换矩阵（permutation matrix）来完成。

在对一个Ax=b的方程组进行高斯消元的过程中，我们常常会遇到一种情况，也就是消元消不下去的情况。下面，我列出了两个不同的3x3矩阵的消元过程：

上图中的第一行，是一个比较常见的消元流程。对于3x3方阵而言，先令主对角线上的第一个元素A11（在图中左上角用方框框出）为主元（pivot），且当前列被称为主元列。用A11所在的行去乘以一个合适的系数减去下面各行（第二，第三行），使得A11这一列下面的元素都为0。之后，再令A22为主元，A22所在的列为主元列，用A22所在的行乘以一个相应的系数减去下面各行（第三行），使得A22所在列下面的元素都为0。一直进行到，对角线上的最后一个元素。

但有时候，我们在消元过程中可能会遇到主对角线上为0的情况，正如上图中的第二个消元过程。当消元进行到主对角线上的A22（图中第二行第二步中用方框框出来的元素）时，消元无法进行下去了。因为，0无论乘以任何系数都无法消除0下面的元素。这时，我们就要把A22下面的非零元素所在的行，和A22所在的行，进行行交换。使得主对角线上的A22不为0，并完成后续的消元过程。

上面提到的行交换的矩阵表达形式就是置换矩阵P。也就是用置换矩阵P左乘以该矩阵。例如，我们下面这个例子：

消元一开始就遇到了问题，主对角线上的第一个元素A11=0，消元进行不下去了。这时我们只需把上面的两行对调一下就可以得到下面的方程组。

而如果我们把这一过程用矩阵的形式来表现的话就是：

重点：现在我再重申一遍这篇文章开头的标题，置换矩阵就是重新排列后的单位矩阵。实际上，最简单的置换矩阵P就是单位矩阵I本身，他的作用就是对矩阵不做任何处理，即：

P = I（no exchanges）

为了更加直观的描述一个置换矩阵的功能，我们可以用矩阵 $P_{ij}$ 来表示置换矩阵。用 $P_{ij}$ 去左乘另一个矩阵，会交换这个矩阵I的i行和j行。如果我们仔细比较置换矩阵 $P_{ij}$ 中的i，j行和相同尺寸的单位矩阵中的i，j行，我们会发现，他就是交换了单位矩阵中ij行后的矩阵。

置换矩阵的性质

1，对任何一个置换矩阵P而言，每一行，梅一列都只有一个“1”。

2，同时，置换矩阵的转置 $P^{T}$ 也是一个置换矩阵，可能是同一个矩阵P，可能是另一个矩阵。

3，任意两个置换矩阵的乘积 $P_{1}P_{2}$ 也是一个置换矩阵。

置换矩阵也可以是一次交换多行的矩阵P，这需要通过两个置换矩阵相乘得到：

$P=P_{ab}P_{cd}$

例子：

4，对于任何n阶矩阵，共有n的阶乘种置换矩阵。其中，n！=1x2x3...xn。因此，若n=4就对应有24种置换矩阵，若n=5，就会有120种置换矩阵！

5，置换矩阵 $P_{ij}$ 的逆矩阵就是他自己。已知，置换矩阵 $P_{ij}$ 的作用就是交换另一个矩阵的i行和j行，要想恢复这个操作，那就是把另一个矩阵的i行和j行再交换一次，所以：

$\large P_{ij}=P_{ij}^{-1}$

注意，第五条所说的性质，只争对进行一次行交换的置换矩阵，但，如果是一次执行多次行交换的置换矩阵，例如P=P21P32，他的矩阵和他的逆不同，如下：

但他的逆确实实现了对p操作的还原，如下：

6，置换矩阵被广泛的用于对非奇异矩阵（nonsingular matrix）进行高斯消元时，遇到主元为零时需要进行行交换的情况。即：PA=LU（或者PA=LDU）。对于奇异矩阵（singular matrix）,行交换也无法彻底杜绝主元为0的情形。

By the way: LU分解是一个伟大的矩阵分解！

以下是一些早期的个人笔记：

置换矩阵：

置换矩阵的乘法：

置换矩阵的性质：

注：上文中提到的，置换矩阵P可用于列交换，需要进一步考证，待定！

（全文完）

作者 --- 松下J27

格言摘抄：人就是三个口！（无名氏）

参考文献（鸣谢）：

文中截图均来自于：《Introduction to Linear Algebra》,5th Edition - Gilbert Strang

（配图与本文无关）

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