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海森矩阵（Hessian matrix）

2023-10-26

转自：http://hi.baidu.com/imheaventian/item/c8591b19907bd816e2f98612

 

在数学中，海森矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：

f(x_1, x_2, \dots, x_n),

如果 f 所有的二阶导数都存在，那么 f 的海森矩阵即：


H(f)ij(x) = DiDjf(x)

其中 x = (x_1, x_2, \dots, x_n)，即

H(f) = \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}

可见，多元函数的二阶导数就是一个海森矩阵
 海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。

 

混合偏导数和海森矩阵的对称性

海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵非主对角线上的元素。假如他们是连续的，那么求导顺序没有区别，即

\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) = \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)

上式也可写为

f_{xy} = f_{yx} \,

在正式写法中，如果 f 函数在区域 D 内连续并处处存在二阶导数，那么 f的海森矩阵在 D 区域内为对称矩阵。


 

给定二阶导数连续的函数，海森矩阵的行列式，可用于分辨 f 的临界点是属于鞍点还是极值点。

对于 f 的临界点 (x0,y0) 一点，有 \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} = \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} = 0，然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海森矩阵可能解答这个问题。

H = \begin{vmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x})^2

    H > 0 ：若\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0，则(x0,y0)是局部极小点；若\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0，则(x0,y0)是局部极大点。
    H < 0 ：(x0,y0)是鞍点。
    H = 0 ：二阶导数无法判断该临界点的性质，得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。

 

MATLAB中获得Hessian矩阵：

The Hessian of a scalar valued function f:Rn

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