梯度下降法（Gradient Descent)：又称最速下降法，是迭代法的一种，可用于求解机器学习算法的模型参数（即无约束优化问题）具体来讲可用来求解损失函数的最小值，也可求解最小二乘问题
分类：
批量梯度下降 BGD ：使用全部样本构建了损失函数（在线性回归中为SSE），再根据损失函数梯度下降求得系数（权值）；
随机梯度下降 SGD：每次只使用一个样本点得到损失函数的公式，根据梯度下降求解参数，再随机选择样本进行系数更新；
小批量梯度下降 MBGD：每次使用部分样本计算得到损失函数，根据梯度下降算法求解参数，再不断更新。
损失函数（loss function)：在统计学和机器学习中被用于模型的参数估计（线性回归时应用到），用来估测模型的预测值 f(x)与真实值 Y的不一致程度，为非负实值函数，用L(Y, f(x) )表示 (这次先不深入了解）
步长（Learning rate）：步长决定了在梯度下降迭代的过程中，每一步沿梯度负方向前进的长度。用下山的例子，步长就是在当前这一步所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走的那一步的长度。
特征（feature）：指的是样本中输入部分，比如2个单特征的样本（x(0),y(0)）,（x(1),y(1)）,则第一个样本特征为x(0)，第一个样本输出为y(0)。
假设函数（hypothesis function）：在监督学习中，为了拟合输入样本，而使用的假设函数，记为hθ(x)。比如对于单个特征的m个样本（x(i),y(i)）(i=1,2,…m),可以采用拟合函数如下： hθ(x)=θ0+θ1x。
损失函数（loss function）：为了评估模型拟合的好坏，通常用损失函数来度量拟合的程度。损失函数极小化，意味着拟合程度最好，对应的模型参数即为最优参数。在线性回归中，损失函数通常为样本输出和假设函数的差取平方。比如对于m个样本（xi,yi）(i=1,2,…m),采用线性回归，损失函数为：
J(θ0,θ1)=∑i=1m(hθ(xi)−yi)2
其中xi表示第i个样本特征，yi表示第i个样本对应的输出，hθ(xi)为假设函数。
假设你正处于大山的某一位置，为了下山，每走一步便算一步，算出每次位置的梯度，沿其负梯度，即最陡峭的位置向下走，最终有两种可能的结果，走至一个局部山峰的最低处，或是直接走至山脚。
对应于函数，即求出局部的最优解，或是求出全局的最优解
1. 先决条件： 确认优化模型的假设函数和损失函数。
比如对于线性回归，假设函数表示为 hθ(x1,x2,…xn)=θ0+θ1x1+…+θnxn, 其中θi (i = 0,1,2… n)为模型参数，xi (i = 0,1,2… n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征x0=1
，这样hθ(x0,x1,…xn)=∑i=0nθixi。同样是线性回归，对应于上面的假设函数，损失函数为：
J(θ0,θ1…,θn)=12m∑j=1m(hθ(x(j)0,x(j)1,…x(j)n)−yj）
2. 算法相关参数初始化： 主要是初始化θ0,θ1…,θn,算法终止距离ε以及步长α。在没有任何先验知识的时候，可将所有的θ初始化为0，
将步长初始化为1。在调优的时候再优化。3. 算法过程：
1）确定当前位置的损失函数的梯度，对于θi,其梯度表达式如下：
∂∂θiJ(θ0,θ1…,θn)
2）用步长乘以损失函数的梯度，得到当前位置下降的距离，即α∂∂θiJ(θ0,θ1…,θn)对应于前面登山例子中的某一步。3）确定是否所有的θi,梯度下降的距离都小于ε，如果小于ε则算法终止，当前所有的θi(i=0,1,…n)即为最终结果。否则进入步骤4.
4）更新所有的θ，对于θi，其更新表达式如下。更新完毕后继续转入步骤1.
θi=θi−α∂∂θiJ(θ0,θ1…,θn)
下面用线性回归的例子来具体描述梯度下降。假设我们的样本是(x(0)1,x(0)2,…x(0)n,y0),(x(1)1,x(1)2,…x(1)n,y1),…(x(m)1,x(m)2,…x(m)n,ym),损失函数如前面先决条件所述：J(θ0,θ1…,θn)=12m∑j=0m(hθ(x(j)0,x(j)1,…x(j)n)−yj)2。
则在算法过程步骤1中对于θi 的偏导数计算如下：
∂∂θiJ(θ0,θ1…,θn)=1m∑j=0m(hθ(x(j)0,x(j)1,…x(j)n)−yj)x(j)i
由于样本中没有x0上式中令所有的xj0为1.步骤4中θi的更新表达式如下：
θi=θi−α1m∑j=0m(hθ(x(j)0,x(j)1,…xjn)−yj)x(j）
从这个例子可以看出当前点的梯度方向是由所有的样本决定的，加1m 是为了好理解。由于步长也为常数，他们的乘机也为常数，所以这里α1m可以用一个常数表示。
还有梯度下降法的变种，他们主要的区别就是对样本的采用方法不同。这里我们采用的是用所有样本
下面是借来的代码。。和上面的步骤稍有不同
# @Time : 2020/6/16 19:42
# @Author : 大太阳小白
# @Software: PyCharm
"""
通过程序理解如何使用梯度下降求解
1、首先程序定义一个样本集，用来代替真实数据的分布
2、计算模型误差，使用均方误差
3、利用均方误差求导，解出关于待定参数w的导数
4、目标函数是误差最小，则关于w的方程求w下降最快方向使目标函数下降最快
5、定义w初始位置，带入导数方程，求得关于初始位置w的导数
6、w根据w位置导数移动lamda倍步长，得到新的w1点，带入导数方程求w1导数，如此迭代
7、当满足一定迭代限制或是误差限制时停止迭代，求得w值
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def create_sample_set():
"""
生成样本数据集
:return:
"""
x = np.arange(0, 100, 1)
y = x * 11.8 - np.random.standard_normal(100) * 100
return x, y
def loss(weight, x, y):
"""
损失函数使用均方误差
:param weight:权重
:param x:
:param y:
:return:
"""
return (x * weight - y).T * (x * weight - y)
def gradient(weight, x, y):
"""
基于损失函数求关于w的导数
:param weight:
:param x:
:param y:
:return:
"""
return x.T * (x * weight - y)
def gradient_descent(x, y, max_iter=10, learning_rate=0.001):
"""
梯度下降求解
:param x:
:param y:
:param max_iter:
:param learning_rate:
:return:
"""
m, n = np.shape(x)
weight = np.mat(np.ones((n, 1)))
loss_arr = []
weight_arr = np.zeros((max_iter,n))
for i in range(max_iter):
g = gradient(weight, x, y)
weight = weight - learning_rate * g
error = loss(weight, x, y).T.tolist()[0][0]
loss_arr.append(error)
weight_arr[i, :] = weight.T
print("迭代 {} 损失：{},weight参数：{}".format(i + 1, error, weight.T.tolist()))
return weight,loss_arr,weight_arr
if __name__ == '__main__':
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用来正常显示中文标签
features, labels = create_sample_set()
X = np.ones((2, 100))
X[1] = np.mat(features)
X = X.T
Y = labels.reshape(100, 1)
weights,loss_array,weights_array = gradient_descent(X, Y, learning_rate=0.000001)
# 绘制曲线
fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(2, 2, 1)
ax1.set_title("样本数据分布" )
ax1.scatter(features, labels)
ax2 = fig.add_subplot(2, 2, 2)
ax2.set_title("梯度下降拟合效果" )
ax2.scatter(features, labels)
ax2.plot(features, (X * weights).T.tolist()[0])
ax3 = fig.add_subplot(2, 2, 3)
ax3.set_title("随着迭代次数增加loss走势")
ax3.plot(range(len(loss_array)), loss_array)
ax4 = fig.add_subplot(2, 2, 4)
ax4.set_title("随着迭代数增加学习的参数逐渐稳定")
ax4.plot(np.array(weights_array))
plt.show()
#定义标准化函数
def regulization(X):
xmat = X.copy()
x_mean = np.mean(xmat,axis = 0)
x_std = np.std(xmat,axis = 0)
x_norm = (xmat-x_mean)/x_std
return x_norm
#批量梯度下降的实现
def bgd(data,alp=0.01,numit=5000):
# 将数据转化为矩阵形式（分特征矩阵和标签矩阵）
xMat = np.mat(data.iloc[:,:-1].values)
yMat = np.mat(data.iloc[:,-1].values).T
# 将数据标准化
xMat = regulization(xMat)
yMat = regulization(yMat)
m,n = xMat.shape
# 存储系数
w = np.zeros((n,1))
for k in range(numit):
grad = xMat.T*(xMat*w-yMat)/m
w -= alp*grad
return w