上一篇文章我们详细介绍了过拟合和L1、L2正则化，Lasso就是基于L1正则化，它可以使得参数稀疏，防止过拟合。其中的原理都讲的很清楚，详情可以看我的这篇文章。
链接: 原理解析-过拟合与正则化
本文主要实现python代码的Lasso回归，并用实例佐证原理。
我们先生成数据集，还是用sklearn生成。
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import sklearn.datasets
#生成100个一元回归数据集
x,y = sklearn.datasets.make_regression(n_features=1,noise=5,random_state=2020)
plt.scatter(x,y)
plt.show()
如上所示，生成了一个一元回归数据集，如果数据中混入了噪声，如：（手动添加5个噪声数据）
#加5个异常数据,为什么这么加，大家自己看一下生成的x,y的样子
a = np.linspace(1,2,5).reshape(-1,1)
b = np.array([350,380,410,430,480])
#生成新的数据集
x_1 = np.r_[x,a]
y_1 = np.r_[y,b]
plt.scatter(x_1,y_1)
plt.show()
这个时候，数据表现为这个样子，由于这几个数据是异常数据，所以我们的线性回归模型应该拟合下面的样本点，即最终的参数应该比较小，不应该因为加入了几个很异常的数据，导致参数发生很大的偏移，以这个图为例，就是不应该变得很大。
，下面用我们之前写好的线性回归类（python代码实现），来展示效果：
class normal():
def __init__(self):
pass
def fit(self,x,y):
m=x.shape[0]
X = np.concatenate((np.ones((m,1)),x),axis=1)
xMat=np.mat(X)
yMat =np.mat(y.reshape(-1,1))
xTx=xMat.T*xMat
#xTx.I为xTx的逆矩阵
ws=xTx.I*xMat.T*yMat
#返回参数
return ws
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用来正常显示负号
clf1 =normal()
#拟合原始数据
w1 = clf1.fit(x,y)
#预测数据
y_pred = x * w1[1] + w1[0]
#拟合新数据
w2 = clf1.fit(x_1,y_1)
#预测数据
y_1_pred = x_1 * w2[1] + w2[0]
print('原始样本拟合参数：\n',w1)
print('\n')
print('新样本拟合参数：\n',w2)
ax1= plt.subplot()
ax1.scatter(x_1,y_1,label='样本分布')
ax1.plot(x,y_pred,c='y',label='原始样本拟合')
ax1.plot(x_1,y_1_pred,c='r',label='新样本拟合')
ax1.legend(prop = {'size':15}) #此参数改变标签字号的大小
plt.show()
W的第一个参数是截距，第二个参数是斜率，也就是系数，可以看到系数变大了很多，仅因为加入了几个噪声，模型的鲁棒性很差，泛化能力也差，出现了一定程度的过拟合。
我们再来看Lasso的表达式：
= 线性回归损失函数 + L1正则项，上一篇文章我们有分析过L1正则项的特点（本文前面有链接），参数λ是正则项系数，正则项对参数θ不是连续可导，一般情况下，有以下两种方式来求Lasso的参数，
1、坐标轴下降法
2、用最小角回归法
这里推荐一篇刘建平博士的博客，写得很清楚。
链接: Lasso回归算法： 坐标轴下降法与最小角回归法小结
我们采用坐标轴下降法来求参数：python代码实现如下：
#临时写的函数，要在引入一个copy包，进行深度拷贝
#大家写一份代码，把要引入的包全放在最前面
import copy
def CoordinateDescent(x, y,epochs,learning_rate,Lambda):
m=x.shape[0]
X = np.concatenate((np.ones((m,1)),x),axis=1)
xMat=np.mat(X)
yMat =np.mat(y.reshape(-1,1))
w = np.ones(X.shape[1]).reshape(-1,1)
for n in range(epochs):
out_w = copy.copy(w)
for i,item in enumerate(w):
#在每一个W值上找到使损失函数收敛的点
for j in range(epochs):
h = xMat * w
gradient = xMat[:,i].T * (h - yMat)/m + Lambda * np.sign(w[i])
w[i] = w[i] - gradient* learning_rate
if abs(gradient)<1e-3:
break
out_w = np.array(list(map(lambda x:abs(x)<1e-3, out_w-w)))
if out_w.all():
break
return w
CoordinateDescent()函数来实现我们的Lasso回归，示例：
当Lambda参数为0时，也就是不加L1正则项时，就是普通的线性回归，参数输出都是一样的，也是47点多
#Lambda=0时；
w = CoordinateDescent(x_1,y_1,epochs=250,learning_rate=0.001,Lambda=0)
print(w)
#计算新的拟合值
y_1_pred = x_1 * w[1] + w[0]
ax1= plt.subplot()
ax1.scatter(x_1,y_1,label='样本分布')
ax1.plot(x,y_pred,c='y',label='原始样本拟合')
ax1.plot(x_1,y_1_pred,c='r',label='新样本拟合')
ax1.legend(prop = {'size':15}) #此参数改变标签字号的大小
plt.show()
当Lambda =10时，参数变为37点多；
#Lambda=10时；
w = CoordinateDescent(x_1,y_1,epochs=250,learning_rate=0.001,Lambda=10)
print(w)
#计算新的拟合值
y_1_pred = x_1 * w[1] + w[0]
ax1= plt.subplot()
ax1.scatter(x_1,y_1,label='样本分布')
ax1.plot(x,y_pred,c='y',label='原始样本拟合')
ax1.plot(x_1,y_1_pred,c='r',label='新样本拟合')
ax1.legend(prop = {'size':15}) #此参数改变标签字号的大小
plt.show()
当Lambda =30时，参数变为17点多，基本上已经和没添加异常值的参数是一样的了；
#Lambda=30时；
w = CoordinateDescent(x_1,y_1,epochs=250,learning_rate=0.001,Lambda=30)
print(w)
#计算新的拟合值
y_1_pred = x_1 * w[1] + w[0]
ax1= plt.subplot()
ax1.scatter(x_1,y_1,label='样本分布')
ax1.plot(x,y_pred,c='y',label='原始样本拟合')
ax1.plot(x_1,y_1_pred,c='r',label='新样本拟合')
ax1.legend(prop = {'size':15}) #此参数改变标签字号的大小
plt.show()
当Lambda =100时，参数基本上已经趋近于0，拟合线差不多就是一条水平线了；
#Lambda=100时；
w = CoordinateDescent(x_1,y_1,epochs=250,learning_rate=0.001,Lambda=100)
print(w)
#计算新的拟合值
y_1_pred = x_1 * w[1] + w[0]
ax1= plt.subplot()
ax1.scatter(x_1,y_1,label='样本分布')
ax1.plot(x,y_pred,c='y',label='原始样本拟合')
ax1.plot(x_1,y_1_pred,c='r',label='新样本拟合')
ax1.legend(prop = {'size':15}) #此参数改变标签字号的大小
plt.show()
正则项参数过大、过小都不好，
过小起不到惩罚效果，模型任然过拟合；
过大惩罚太大，会使得模型欠拟合，达不到要求；
我们选择参数的标准：模型在训练集、验证集、测试集上，评估效果接近时，这个正则项参数较好。
同样的，可以调用sklearn的Lasso回归来测试代码的正确性；
（只看参数的值，图就不画了）
from sklearn.linear_model import Lasso
lr=Lasso(alpha=0)
lr.fit(x_1,y_1)
print('alpha=0时',lr.coef_,'\n')
lr=Lasso(alpha=10)
lr.fit(x_1,y_1)
print('alpha=10时',lr.coef_,'\n')
lr=Lasso(alpha=30)
lr.fit(x_1,y_1)
print('alpha=30时',lr.coef_,'\n')
lr=Lasso(alpha=100)
lr.fit(x_1,y_1)
print('alpha=100时',lr.coef_)
基本上和我们的python代码实现的系数差不多。
只是在我们梯度下降法代码基础上，改了梯度的计算，加了sign(w)，也就是加上L1正则项的导数）；
class lasso():
def __init__(self):
pass
#梯度下降法迭代训练模型参数,x为特征数据，y为标签数据，a为学习率，epochs为迭代次数
def fit(self,x,y,a,epochs,Lambda):
#计算总数据量
m=x.shape[0]
#给x添加偏置项
X = np.concatenate((np.ones((m,1)),x),axis=1)
#计算总特征数
n = X.shape[1]
#初始化W的值,要变成矩阵形式
W=np.mat(np.ones((n,1)))
#X转为矩阵形式
xMat = np.mat(X)
#y转为矩阵形式，这步非常重要,且要是m x 1的维度格式
yMat =np.mat(y.reshape(-1,1))
#循环epochs次
for i in range(epochs):
gradient = xMat.T*(xMat*W-yMat)/m + Lambda * np.sign(W)
W=W-a * gradient
return W
def predict(self,x,w): #这里的x也要加偏置，训练时x是什么维度的数据，预测也应该保持一样
return np.dot(x,w)
下面是运行的结果:
sklearn展示Lasso：
1、随着alpha值的增大，也就是正则项系数增大，系数变得越来越稀疏，更多的系数变为0。
#波士顿房价回归数据集
data = sklearn.datasets.load_boston()
x =data['data']
y= data['target']
from sklearn.linear_model import Lasso
lr=Lasso(alpha= 1)
lr.fit(x,y)
print('当alpha=1时：\n',lr.coef_)
lr=Lasso(alpha= 5)
lr.fit(x,y)
print('当alpha=5时：\n',lr.coef_)
lr=Lasso(alpha= 10)
lr.fit(x,y)
print('当alpha=10时：\n',lr.coef_)
下一篇我们介绍Ridge回归。