312. 戳气球
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有 n
个气球,编号为0
到 n - 1
,每个气球上都标有一个数字,这些数字存在数组 nums
中。
现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i
个气球,你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1]
枚硬币。 这里的 i - 1
和 i + 1
代表和 i
相邻的两个气球的序号。如果 i - 1
或 i + 1
超出了数组的边界,那么就当它是一个数字为 1
的气球。
求所能获得硬币的最大数量。
示例 1:
输入:nums = [3,1,5,8]
输出:167
解释:
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167
为便于处理,可在数组两端各添加一个哨兵 111,即 nums=[1]+nums+[1]
我们假设最后一个戳破的气球是k,数组的区间是(i,j),那么便可以得到所求硬币的最大数量为
(i,k)的硬币数+(k,j)硬币数+i*k*j的硬币数的最大值
由此我们可以得到区间动态规划方程
dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k][j]+nums[i]*nums[k]*nums[j])
最终求出dp[0][-1]
class Solution:
def maxCoins(self, nums) :
nums.insert(0, 1)
nums.append(1)
n = len(nums)
dp = [[0] * n for _ in range(n)]
for i in range(n - 1, -1, -1): #i<j-1才有意义
for j in range(i + 2, n + 2):# k: 开区间 (i,j) 中最后一个被戳破的气球
for k in range(i + 1, j): # 枚举k
cur = nums[i] * nums[j] * nums[k] + dp[i][k] + dp[k][j]
if cur > dp[i][j]:
dp[i][j] = cur
return dp[0][n - 1]