正弦积分与余弦积分函数

2023-10-27

文章目录

一、被积分函数分析
二、积分函数分析
参考

在看天线理论时遇到了正弦积分与余弦积分函数，为了更好的理解这个函数的性质，使用Python将这两个函数的图像复现出来，同时画了被积函数的图像。

图1 书上的公式示例

正弦积分函数： S i x = ∫ 0 x sin ⁡ x x d x Si\text{ }x=\int_{0}^{x}{\frac{\sin x}{x}dx} Si x=∫0xxsinxdx；被积分函数是 sin ⁡ x / x \sin x/x sinx/x，积分区间是 ( 0 , x ) \left( 0,x \right) (0,x)。
余弦积分函数： C i x = − ∫ x ∞ cos ⁡ x x d x = ∫ x ∞ − cos ⁡ x x d x Ci\text{ }x=-\int_{x}^{\infty }{\frac{\cos x}{x}dx}=\int_{x}^{\infty }{-\frac{\cos x}{x}dx} Ci x=−∫x∞xcosxdx=∫x∞−xcosxdx；被积分函数 − cos ⁡ x / x -\cos x/x −cosx/x，积分区间是 ( x , ∞ ) \left( x,\infty \right) (x,∞)，这里将Ci x的负号写到了被积分函数里面。

一、被积分函数分析

使用matplotlib里面的plot函数作图，代码里需要注意的地方是起始点是0.2不是0，否则会因为 − cos ⁡ x / x -\cos x/x −cosx/x的值是-∞而作图比例不协调。通过函数图像可以得到两个被积分函数的性质。

sin ⁡ x / x \sin x/x sinx/x：当x=0时其值为1是最大，之后波动趋向于0；
− cos ⁡ x / x -\cos x/x −cosx/x：当x=0时其值为-∞是最小，之后波动趋向于0；

两者共同趋向于0的原因是分子的范围是[-1,1]，而分母最终会趋向于正无穷大，所以结果最终会趋向于0。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.arange(0.2, 10, 0.01)    # x参数：0.2 10是范围 0.01是分辨率，因为x<0.2时，余弦积分无穷大，所以从0.2开始
# 先看下sin(t)/t与-cos(t)/t的图像   这里x的范围是x>0.2，是因为x<0.2时余弦积分无穷大会超出边界，所以从0.2开始
sin_t = np.sin(x)/x
cos_t = np.cos(x)*(-1)/x

plt.title('被积分函数')                           # 添加标题
plt.plot(x, sin_t, label="sinx/x")
plt.plot(x, cos_t, label="cosx/x")
plt.legend(loc='upper left')                    # 显示在左上,解决label不显示的问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']    # 这一行和下一行解决中文显为方框的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.show()

在这里插入图片描述

图2 被积分函数图像

二、积分函数分析

可以看到Cinx和 sin ⁡ x / x \sin x/x sinx/x有重合的部分，这个对应 C i x ≈ sin ⁡ x x , x ≥ 1 Ci\text{ }x\approx \frac{\sin x}{x},x\ge 1 Ci x≈xsinx,x≥1，尤其是在x≥2之后几乎是重合的，不过因为求Ci x这里使用了近似解。

最终余弦积分的结果趋向于0，这是因为他的积分区间导致的，x→∞时，积分区间长度为0。
正弦积分区间趋向于1.5708
书上Si x和Ci x函数值如表1所示
余弦积分的积分到∞代码实现不了，使用积分到300进行工程近似，即第23行代码的v_cos[a], err = integrate.quad(g, x[a], 300)

表1 Si x和Ci x函数值

x	Si x	Ci x
0	0	− ∞ -\infty −∞
π / 2 \pi /\text{2} π/2	1.371	0.472
π \pi π	1.852	0.074
3 π / 2 3 \pi /\text{2} 3π/2	1.608	-0.198
2 π 2 \pi 2π	1.418	-0.0227
3 π 3\pi 3π	1.675	0.011
4 π 4\pi 4π	1.492	-0.006
∞ \infty ∞	1.5708	0

from scipy import integrate
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.arange(0.2, 10, 0.01)    # x参数：0.2 10是范围 0.01是分辨率，因为x<0.2时，余弦积分设计无穷大，所以从0.2开始
v = x * 0.0   # 初始化v和x的长度一致，并且都是0.0,小数,0的话就是整数了
v_cos = x * 0.0
# 先看下sin(t)/t与cos(t)/t的图像
sin_t = np.sin(x)/x     # sin(x)/x的积分是从0→x，直接从前积分就行，没有进行近似
cos_t = np.cos(x)*(-1)/x     # cos(x)/x的积分是从x→∞，后面的积分可以忽略，所以只计算到的积分是30即可，主要看趋势


def f(t):   #
    return np.sin(t)/t  # 积分公式里的函数，这里的变量x和上面的x冲突了，修改为t


def g(t):
    return np.cos(t)*(-1)/t  # 积分公式里的函数，这里的变量x和上面的x冲突了，修改为t


for a in range(0, len(x), 1):  # 第一个积分出来是nan,先跳过第0个元素
    v[a], err = integrate.quad(f, 0, x[a])   # 0,np.pi是积分范围，在最后的画图里面np.pi应该是变量
    v_cos[a], err = integrate.quad(g, x[a], 300)
    # v_cos[a], err = integrate.quad(g, 30, x[a])

plt.title('正弦/余弦积分')                       # 添加标题
plt.plot(x, v, label="Si x")
plt.plot(x, v_cos, label="Ci x")
plt.plot(x, sin_t, label="sinx/x")
plt.plot(x, cos_t, label="cosx/x")
plt.legend(loc='upper left')                    # 显示在左上,解决label不显示的问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']    # 这一行和下一行解决中文显为方框的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.show()

在这里插入图片描述

图3 正弦/余弦积分函数图像

参考

《天线理论与技术》钟顺时，P46
百度百科-正弦积分
百度百科-余弦积分

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