第五章 线性系统的频域分析与校正
习题与解答
5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。
(a) (b)
图5-75 R-C网络
解 (a)依图：
(b)依图：
5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出和稳态误差
(1)
(2)
解 系统闭环传递函数为: 图5-76 系统结构图
频率特性:
幅频特性:
相频特性:
系统误差传递函数:
则
(1)当时, ，rm=1
则
(2) 当 时:
5-3 若系统单位阶跃响应
试求系统频率特性。
解
则
频率特性为
5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线：
解
幅频特性如图解5-4(a)。
幅频特性如图解5-4(b)。
图解5-4
幅频特性如图解5-4(c)。
5-5 已知系统开环传递函数
试分别计算 和 时开环频率特性的幅值和相角。
解
计算可得
5-6 试绘制下列传递函数的幅相曲线。
(1)
(2)
解 (1)
取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形
三个特殊点： ① ω=0时，
② ω=0.25时,
③ ω=∞时,
幅相特性曲线如图解5-6(1)所示。
图解5-6(1)Nyquist图 图解5-6(2) Nyquist图
(2)
两个特殊点： ① ω=0时，
② ω=∞时,
幅相特性曲线如图解5-6(2)所示。
5-7 已知系统开环传递函数
；
当时，，；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差1。试写出系统开环频率特性表达式。
解
先绘制的幅相曲线，然后顺时针转180°即可得到幅相曲线。的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。的幅相曲线如图解5-7(c)所示。
依题意有： ， ，因此。
另有：
可得： ，，。
所以：
5-8 已知系统开环传递函数
试概略绘制系统开环幅相频率特性曲线。
解 的零极点分布图如图解5 -8(a)所示。
变化时，有
分析平面各零极点矢量随的变化趋势，可以绘出开环幅相曲线如图解5-8(b)所示。
5-9 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。
(1) ；
(2) ；
(3)
(4)
(5)
解 (1)
图解5-9(1) Bode图 Nyquist图
(2)
图解5-9(2) Bode图 Nyquist图
(3)
图解5-9(3) Bode图 Nyquist图
(4)
图解5-9(4) Bode图 Nyquist图
(5)
图解5-9(5) Bode图 Nyquist图
5-10 若传递函数
式中，为中，除比例和积分两种环节外的部分。试证
式中，为近似对数幅频特性曲线最左端直线(或其延长线)与0dB线交点的频率，如图5－77所示。
证 依题意，G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函数为。
题意即要证明的对数幅频曲线与0db交点处的频率值。因此，令
，可得 , 故 ，证毕。
5-11 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频特性曲线分别如图5-78(a)、(b)和(c)所示。要求：
(1)写出对应的传递函数；
(2)概略绘制对应的对数相频特性曲线。
图 5－78 5－11题图
解 (a) 依图可写出：
其中参数： ，
则：
图解5-11(a) Bode图 Nyquist图
(b) 依图可写出
图解5-11(b) Bode图 Nyquist图
(c)
图解5-11(c) Bode图 Nyquist图
5-12 已知、和均为最小相角传递函数，其近似对数幅频特性曲线如图5-79所示。试概略绘制传递函数
的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线。
解：(1)
则：
图5-79 5-12题图
(2)
,
(3)
(4)
将代入得：
对数频率特性曲线如图解5-12(a)所示,幅相特性曲线如图解5-12(b)所示：
图解5-12 (a) Bode图 (b) Nyquist图
5-13 试根据奈氏判据，判断题5-80图(1)～(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。已知曲线(1)～(10)对应的开环传递函数如下(按自左至右顺序)。
解 题5-13计算结果列表
题号
开环传递函数
闭环
稳定性
备注
1
0
-1
2
不稳定
2
0
0
0
稳定
3
0
-1
2
不稳定
4
0
0
0
稳定
5
0
-1
2
不稳定
6
0
0
0
稳定
7
0
0
0
稳定
8
1
1/2
0
稳定
9
1
0
1
不稳定
10
1
-1/2
2
不稳定
5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：
；
(1)时，值的范围；
(2)时，值的范围；
(3)值的范围。
解
令 ，解出，代入表达式并令其绝对值小于1
得出： 或
(1)时，；
(2)时，；
(3)值的范围如图解5-14中阴影部分所示。
5-15 已知系统开环传递函数
试概略绘制幅相特性曲线，并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。
解 作出系统开环零极点分布图如图解5-15(a)所示。的起点、终点为：
与实轴的交点：
令 可解出
代入实部
概略绘制幅相特性曲线如图解5-15(b)所示。根据奈氏判据有
所以闭环系统不稳定。
5-16 某系统的结构图和开环幅相曲线如图5-81 (a)、(b)所示。图中
试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。
解 内回路开环传递函数:
大致画出的幅相曲线如图解5-16所示。可见不会包围(-1,j0)点。
即内回路小闭环一定稳定。内回路小闭环极点(即开环极点)在右半S平面的个数为0。
由题5-16图(b)看出:系统开环频率特性包围(-1,j0)点的圈数 N=-1。根据劳斯判据
系统不稳定，有两个闭环极点在右半S平面。
5-17 已知系统开环传递函数
试根据奈氏判据确定闭环系统的稳定性。
解 作出系统开环零极点分布图如图解5-17(a)所示。
的起点、终点为：
幅相特性曲线与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数，小于不稳定惯性环节的时间常数，故呈现先增大后减小的变化趋势。绘出幅相特性曲线如图解5-17(b)所示。根据奈氏判据
表明闭环系统不稳定。
5-18 已知单位反馈系统的开环传递函数，试判断闭环系统的稳定性。
解 作出系统开环零极点分布图如图解5-18(a)所示。当变化时，的变化趋势：
绘出幅相特性曲线如图解5-18(b)所示。根据奈氏判据
表明闭环系统不稳定。
5-19 已知反馈系统，其开环传递函数为
(1)
(2)
(3)
(4)
试用奈氏判据或对数稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定系统的相角裕度和幅值裕度。
解 (1)
画Bode图得：
图解5-19 (1) Bode图 Nyquist图
(2)
画Bode图判定稳定性：Z=P-2N=0-2×(-1)=2 系统不稳定。
由Bode图得：
令： 解得
令： 解得
图解5-19 (2) Bode图 Nyquist图
(3)
画Bode图得： 系统临界稳定。
图解5-19 (3) Bode图 Nyquist图
(4)
画Bode图得：
图解5-19(4) Bode图
系统不稳定。
5-20 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
试确定相角裕度为45°时的α值。
解
开环幅相曲线如图所示。以原点为圆心作单位圆，在Ａ点：
即： (1)
要求相位裕度
即：
(2)
联立求解(1)、(2)两式得：， 。
5-24 某最小相角系统的开环对数幅频特性如图5-82所示。要求
(1) 写出系统开环传递函数；
(2) 利用相角裕度判断系统的稳定性；
(3) 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。
解(1)由题5-29图可以写出系统开环传递函数如下：
(2)系统的开环相频特性为
截止频率
相角裕度
故系统稳定。
(3)将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数
其截止频率
而相角裕度
故系统稳定性不变。由时域指标估算公式可得
=
所以，系统的超调量不变，调节时间缩短，动态响应加快。
5-25 对于典型二阶系统，已知参数，，试确定截止频率和相角裕度。
解 依题意，可设系统的开环传递函数为
绘制开环对数幅频特性曲线如图解5-25所示，得
5-26 对于典型二阶系统，已知％=15％，，试计算相角裕度。
解 依题意，可设系统的开环传递函数为
依题
联立求解
有
绘制开环对数幅频特性曲线如图解5-26所示，得
5-27 某单位反馈系统，其开环传递函数
试应用尼柯尔斯图线，绘制闭环系统对数幅频特性和相频特性曲线。
解 由G(s)知：20lg16.7=24.5db
交接频率： , ,
应用尼柯尔斯曲线得：
ω
0.01
0.05
0.1
0.3
0.6
3
10
20
30
40
50
60
70
80
100
|G|db
-15
-2
4
13
19
24
15
7
2
-3
-7
-10
-13
-16
-20
88
85
83
70
54
-23
-94
-127
-143
-151
-156
-160
-163
-164
-166
M (db)
-15
-4.5
-2
-.75
-0.6
-0.5
0
1.8
4.3
2.3
-3.4
-7.5
-11
-16
-20
69
48
30
12
5
-1
-11
-28
-53
-110
-140
-152
-158
-162
-165
图解5-27 Bode图 Nyquist图
5-28 某控制系统，其结构图如图5-83所示，图中
图5-83 某控制系统结构图
试按以下数据估算系统时域指标σ％和ts。
(1)γ和ωc
(2)Mr和ωc
(3)闭环幅频特性曲线形状
解 (1)
查图5-56 得 秒
(2) 根据,估算性能指标
当 ω=5 时: L(ω)=0, (ω)=-111°
找出: , =6
查图5-62 得 秒
(3) 根据闭环幅频特性的形状
ω
0.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L(db)
36
18
9.5
5
3
0
-2
-4
-5
-7
-20
(°)
-142.5
-130
-118.5
-114
-111
-111
-112.5
-115.5
-118.5
-124
-148
M(db)
0
0.68
1
1.05
0
1.1
-2.1
-3.3
-4
-5.5
-19.3
令 或
秒
5-29 已知控制系统结构图如图5-84所示。当输入时，系统的稳态输出 。试确定系统的参数。
解 系统闭环传递函数为
令
联立求解可得 ，。
采用串联迟后校正。试探，使
取
取
取
取
过作，使；过画水平线定出；过作-20dB/dec线交0dB线于。可以定出校正装置的传递函数
校正后系统开环传递函数
验算：
5-35 设单位反馈系统的开环传递函数为
(1)若要求校正后系统的相角裕度为30°，幅值裕度为10～12(dB)，试设计串联超前校正装置；
(2)若要求校正后系统的相角裕度为50°，幅值裕度为30～40(dB)，试设计串联迟后校正装置。
解
(1) 依题作图未校正系统的对数幅频特性曲线如图解5-35(a)所示
校正前： ,
(系统不稳定)
超前校正后截止频率大于原系统，而原系统在之后相角下降很快，用一级超前网络无法满足要求。
(2) 设计迟后校正装置
经试算在处有
∴ 取
对应
在 以下24.436dB画水平线，左延10dec到对应ω=处,作线交0dB线到E：，因此可得出迟后校正装置传递函数：
试算：
由Bode图：
幅值裕度h不满足要求。为增加，应将高频段压低。重新设计：使滞后环节高频段幅值衰减40dB()。求对应处的
查惯性环节表,在处：
以交0dB线于E：()，得出滞后校正装置传递函数：
在处:
验算：
(满足要求)
因此确定：
5-36 设单位反馈系统的开环传递函数
要求校正后系统的静态速度误差系数Ｋv≥5(rad/s)，截止频率ωc≥2(rad/s)，相角裕度γ≥45°，试设计串联校正装置。
解 在以后，系统相角下降很快，难以用超前校正补偿；迟后校正也不能奏效，故采用迟后-超前校正方式。根据题目要求，取
，
原系统相角裕度
最大超前角
查教材图5-65(b) 得： ，
过作，使；过作20dB/dec线并且左右延伸各3倍频程，定出、，进而确定、点。各点对应的频率为：
有
验算：
5-37 已知一单位反馈控制系统，其被控对象G0(s)和串联校正装置Gc(s)的对数幅频特性分别如图5-86 (a)、(b)和(c)中和所示。要求：
(1)写出校正后各系统的开环传递函数；
(2)分析各对系统的作用，并比较其优缺点。
解 (a) 未校正系统开环传递函数为
采用迟后校正后
画出校正后系统的开环对数幅频特性如图解5-37(a)所示。
有 ，
可见
(b) 未校正系统频率指标同(a)。采用超前校正后
画出校正后系统的开环对数幅频特性如图解5-37(b)所示。
可见
(c) 校正前系统的开环传递函数为
画出校正后系统的开环对数幅频特性，可见采用串联滞后—超前校正后
5-38 设单位反馈系统的开环传递函数
(1)如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超调量σ％=20％，试确定Ｋ值；
(2)根据所求得的Ｋ值，求出系统在单位阶跃输入作用下的调节时间，以及静态速度误差系数；
(3)设计一串联校正装置，使系统的，σ％≤17％，减小到校正前系统调节时间的一半以内。
(1) 由式(5-81):
(1)
由(6-8),
(2)
又 (3)
式(2)、(3)联立：
解出： , (舍去)
∴ 开环增益
∴
(2) 依式(5-82)：
依题有：
(3) 依题要求
由第(2)步设计结果 对应于。由频域时域的反比关系(一定时)，应取:
作出的原系统开环对数幅频特性曲线如图解5-38所示：
(系统不稳定)
在处，原系统相角储备：
需采用迟后—超前校正方法。超前部分需提供超前角
查课本图5-65(b),对应超前部分应满足：
在处定出Ｃ使，过Ｃ作+20dB/dec直线(D、E相距10倍频，C位于D、E的中点)，交出D、E，得
定F点使,过F作-20dB/dec斜率直线交频率轴于G，得
验算：
查图5-61 (符合要求)
得出满足要求的串联校正装置传递函数：
5-39 图5-87为三种推荐的串联校正网络的对数幅频特性，它们均由最小相角环节组成。若原控制系统为单位反馈系统，其开环传递函数
试问：
(1)这些校正网络中，哪一种可使校正后系统的稳定程度最好？
(2)为了将12Hz的正弦噪声削弱左右，你确定采用哪种校正网络？
解 (1)
(a) 采用迟后校正时，校正装置的传递函数为
校正后系统开环传递函数为
画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线所示：
截止频率
相角裕度 (系统不稳定)
(b) 采用超前校正时，校正装置的传递函数为
校正后系统开环传递函数为
画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线所示：
截止频率
相角裕度
(c) 采用迟后-超前校正时，校正装置的传递函数为
校正后系统开环传递函数为
画出对数幅频特性曲线如图解5-39中曲线所示：
截止频率
相角裕度
可见，采用迟后校正时系统不稳定；采用迟后-超前校正时稳定程度最好，但响应速度比超前校正差一些。
(2)确定使12Hz正弦噪声削弱10倍左右的校正网络
时，
对于单位反馈系统，高频段的闭环幅频特性与开环幅频特性基本一致。从Bode图上看，在处，有
衰减倍数，可见，采用迟后-超前校正可以满足要求。
5-40 某系统的开环对数幅频特性如图5-88所示，其中虚线表示校正前的，实线表示校正后的。要求
(1) 确定所用的是何种串联校正方式，写出校正装置的传递函数；
(2) 确定使校正后系统稳定的开环增益范围；
(3) 当开环增益时，求校正后系统的相角裕度和幅值裕度。
解(1)由系统校正前、后开环对数幅频特性曲线可得校正装置的对数幅频特性曲线如图解5-40所示。
从而可得
所用的是串联迟后-超前校正方式。
(2)由图5-88中实线可写出校正后系统的开环传递函数
校正后系统闭环特征方程为
列劳思表
1
1000
110
1000K
(11000-1000K)/110
→ K<110
1000K
→ K>0
所以有 。
(3)当时，由图5-88可看出
所以有
113
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