最小二乘法拟合圆心与半径

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1、算法介绍

最小二乘法的目的，通俗来说，就是拟合变量之间的关系。

由于现实世界观测的变量存在噪声，找不到完美、不存在误差的关系，因此我们退而求其次，尽可能减小误差影响。误差有正有负，而我们希望消除正负方向的差异，所以采用了平方的方法，二乘其实是指平方，只比较误差长度。

举个例子，我们通过观测得到一组点(x, y)，这些点原则来上说属于一条直线，由于观测噪声的存在，找不到这样一条直线涵盖所有点。但是通过最小二乘法，观测尽可能多的点，可以拟合出较为准确的斜率和截距。

2、算法应用

对于拟合圆心和半径，先写出圆的公式：

​​​​​化简得到：

设

则有：

设圆上有n个点，则有：

写成矩阵形式：

即：

根据最小二乘法，求得A矩阵：

至此，通过A矩阵即可得到圆心和半径。

如下图所示，通过观测得到的红点拟合出其所在的圆（圆心和半径）。