相似矩阵
定义
设
A
,
B
A,B
A,B 都是
n
n
n 阶方阵，若存在可逆矩阵
T
T
T ，使
B
=
T
−
1
A
T
B=T^{-1}AT
B=T−1AT
则称
A
A
A 与
B
B
B 相似，称
A
A
A 到
B
B
B 的这种变换为相似变换，称这个矩阵
T
T
T 为相似变换矩阵。
若
A
A
A 与一个对角矩阵
D
D
D 相似，则称
A
A
A 可以相似对角化
性质
定理
若
A
A
A 与
B
B
B 相似，则
A
A
A 与
B
B
B 的特征多项式相同。
推论
- 若
A
A
A 与
B
B
B 相似，则
A
A
A 与
B
B
B 的特征值相同。反之未必成立，即两个矩阵的特征值相同，他们不一定相似。
- 若
A
A
A 与
B
B
B 相似，则
t
r
(
A
)
=
t
r
(
B
)
tr(A) = tr(B)
tr(A)=tr(B) ，且
∣
A
∣
=
∣
B
∣
|A| = |B|
∣A∣=∣B∣ 。
- 若
n
n
n 阶方阵
A
A
A 与对角矩阵
D
=
d
i
a
g
(
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
n
)
D=diag(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)
D=diag(λ1,λ2,…,λn) 相似，则
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
n
\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n
λ1,λ2,…,λn 是
A
A
A 的
n
n
n 个特征值。
合同矩阵
定义
给定两个
n
n
n 阶方阵
A
A
A 和
B
B
B ，如果存在可逆矩阵
C
C
C ，使得
B
=
C
′
A
C
B=C'AC
B=C′AC
则称
A
A
A 与
B
B
B 合同。
性质
推论
对任一实对称矩阵
A
A
A ，存在正交矩阵
P
P
P ，使
P
−
1
A
P
=
P
′
A
P
=
D
P^{-1}AP = P'AP = D
P−1AP=P′AP=D 为对角矩阵，因此，任一实对称矩阵都与对角矩阵合同。
