按照奈奎斯特采样定理(低通采样)，采样频率 f s f_{s} fs 要大于等于信号中最高频率 f m a x f_{max} fmax 的2倍，才可以保证采样后的数字信号通过DAC转换后，可以无失真的恢复为原信号。然而，如果信号的频率分布在某一有限频带上，并且信号的最高频率 f m a x f_{max} fmax 远大于信号的带宽 B B B（带通信号），若此时仍依据低通采样定理进行处理，则需要特别高的采样率，一方面会导致后续信号处理的计算量极大，无法保证数字信号处理的实时性；另一方面，ADC器件的性能受限，无法实现对应的采样频率。因此，需要一种适用于带通信号的采样方式，以达到上述要求。
带通采样定理：设一时间连续的模拟信号
x
(
t
)
x(t)
x(t)，其频带限制在(
f
L
f_{L}
fL，
f
H
f_{H}
fH)内，如果信号的采样频率满足：
f
s
=
2
(
f
L
+
f
H
)
2
m
−
1
=
4
f
0
2
m
−
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(
1
−
1
)
f_{s}=\frac{2(f_{L}+f_{H})}{2m-1}=\frac{4f_{0}}{2m-1} ---------(1-1)
fs=2m−12(fL+fH)=2m−14f0−−−−−−−−−(1−1)
f
s
≥
=
2
(
f
H
−
f
L
)
=
2
B
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(
1
−
2
)
f_{s}≥=2(f_{H}-f_{L})=2B-----------(1-2)
fs≥=2(fH−fL)=2B−−−−−−−−−−−(1−2)
式中，
f
0
=
(
f
L
+
f
H
)
2
f_{0}=\frac{(f_{L}+f_{H})}{2}
f0=2(fL+fH) 为带通信号的中心频率，
B
=
f
H
−
f
L
B=f_{H}-f_{L}
B=fH−fL为信号的带宽，
m
=
1
,
2
,
.
.
.
m=1,2,...
m=1,2,...，取可以满足以上两式的正整数。
则此时用
f
s
f_{s}
fs 进行等间隔采样所得到的信号采样值可以不失真的恢复为原始信号。
如上图所示，信号的频谱具有轴对称性，通过采样将信号的频谱进行了搬移，为了避免频谱混叠，需要满足的条件为：
−
f
L
+
(
k
−
1
)
∗
f
s
≤
f
L
-f_{L}+(k-1)*f_{s}≤f_{L}
−fL+(k−1)∗fs≤fL
−
f
H
+
k
∗
f
s
≥
f
H
-f_{H}+k*f_{s}≥f_{H}
−fH+k∗fs≥fH
联合上式，求得采样频率
f
s
f_{s}
fs 的取值范围为：
2
f
H
k
≤
f
s
≤
2
f
L
k
−
1
\frac{2f_{H}}{k}≤f_{s}≤\frac{2f_{L}}{k-1}
k2fH≤fs≤k−12fL
k
k
k 为正整数，代表频移的次数。
因此，采样频率
f
s
f_{s}
fs 存在的条件为
2
f
H
k
≤
2
f
L
k
−
1
\frac{2f_{H}}{k}≤\frac{2f_{L}}{k-1}
k2fH≤k−12fL，即
k
≤
f
i
x
(
f
H
f
H
−
f
L
)
k≤fix(\frac{f_{H}}{f_{H}-f_{L}})
k≤fix(fH−fLfH)，
f
i
x
(
.
)
fix(.)
fix(.)表示向下取整。
推导最小采样频率
最小采样频率满足：
f
s
=
2
f
H
k
f_{s}=\frac{2f_{H}}{k}
fs=k2fH ，且
k
=
k
m
a
x
=
f
i
x
(
f
H
f
H
−
f
L
)
=
f
i
x
(
f
H
B
)
k=k_{max}=fix(\frac{f_{H}}{f_{H}-f_{L}})=fix(\frac{f_{H}}{B})
k=kmax=fix(fH−fLfH)=fix(BfH)，
B
B
B 为带宽。
(1) 若
f
H
f_{H}
fH 是带宽
B
B
B 的整数倍时，即
k
=
f
H
B
k=\frac{f_{H}}{B}
k=BfH，则有
f
s
=
2
f
H
k
=
2
B
f_{s}=\frac{2f_{H}}{k}=2B
fs=k2fH=2B，即采样频率为信号带宽的2倍。
(2) 若
f
H
f_{H}
fH 不是带宽
B
B
B 的整数倍时，
以64KHz的采样频率对3KHz和67KHz的信号进行采样，采样后信号的频率会怎么样呢？
可以发现，利用采样频率为64KHz对67KHz的信号进行采样，采样后的信号波形与3KHz的信号波形一致，说明采样后信号的频谱进行了搬移，即67-64=3。
clc;
clear;
close all;
fs = 64000; % 采样频率
f1 = 3000;
f2 = 67000;
N = 100; % 数据长度
t = (0:N-1)/fs;
x1 = sin(2*pi*f1*t);
x2 = sin(2*pi*f2*t);
figure;
subplot(2,1,1);plot(t,x1);title('f1 = 3KHz');
subplot(2,1,2);plot(t,x2);title('f2 = 67KHz');
（1）采样的本质是对信号的频谱进行搬移，最根本的要求就是采样后信号的频谱不混叠。
（2）低通采样定理要求采样频率
f
s
f_{s}
fs 要大于等于信号中最高频率
f
m
a
x
f_{max}
fmax 的2倍，而带通采样的采样频率与信号的最高频率没有关系，只与信号的带宽有关。
（3）带通采样定理中采样频率的取值是不连续的分段区间，而不同于低通采样信号的最小采样频率。
（4）带通采样的采样频率最小可等于信号带宽的2倍，实际工程应用中常取信号带宽的4倍或更高。
[1] 王坡. PD雷达信号处理关键算法研究与实现[D].南京信息工程大学,2019.DOI:10.27248/d.cnki.gnjqc.2019.000075.
[2] 工程中的带通采样定理 [学以致用系列课程之数字信号处理]
[3] 陈伯孝, 等. 现代雷达系统分析与设计[M]. 西安：西安电子科技大学出版社, 2012.9.