线性代数-坐标系变换

问题描述：

已知一个全局坐标系，还有若干局部坐标系，如何将局部坐标系的坐标转成全局坐标系的坐标？反过来又如何进行？

这里的坐标系都是直角坐标系。

本文通过下面几个方面的研究来回答上面的问题。

1、简单示例

2、求解过程

3、nodejs编程验证

简单示例

已知点A(6,6),B(14,14),C(-2,14),G(12,12),求当A为原点 ，AB为X轴，AC为Y轴时 G点的坐标。可以见下图：

通过查看图形，我们可以很快的计算出点G新的坐标如下：

但是如果G为任意一点，我们还能轻松求出来么？显然我们不行。我们需要一种通用的方法来一次到位，这里就引入了矩阵变换的概念。

求解过程

重新理解坐标系的(x,y)。看下图：

我们的某个点的坐标实际上表达的是坐标轴单位向量的个数。x表示X轴单位向量个数，y表示Y轴单位向量个数。有了这个概念之后，我们重新来看待上面的问题：

假设AB单位向量为p(px,py)，AC单位向量为q(qx,qy)。点G在新坐标系下为(x1,y1)

换成矩阵计算的写法：

由于AG向量可以很容易的求出来，单位向量p,q也很容易求出来，所以我们的新的坐标系下面的(x1,y1)也可以很容易求出来。通过逆矩阵变换可以求出下面公式：

就这样，我们通过重新理解坐标x和y的含义，通过引入了一个变换矩阵就轻松解决了坐标系的变换，是不是非常简单？这也是出乎我意料之外的，开始我也觉得好难好难。不过上述方法每次需要先求出AG的向量再进行计算，我们能否做到一步到位？当时答案是肯定的，我们通过引入一个三维矩阵，就可以轻松搞定。

我们将上述变换矩阵由二维扩展到三维，如下：假设A点的坐标为(Ax,Ay)。点G新坐标下(x1,x2)，老坐标下(x0,y0)

这里我们换成三维矩阵的表达形式：

最左边的三维变换矩阵可以很容易求出来，那么我们可以根据G新坐标求出老坐标。再通过逆矩阵也可以根据老坐标求出新坐标。

总结：

解决这个问题非常简单只需要两步就搞定了。

第一步：我们需要求出新坐标系的x轴和y轴的单位向量，

第二步：构建一个三维变换矩阵，完成坐标的转换。

nodejs编程验证

这里通过编程的方式来验证变换矩阵的正确性，验证的示例就是上面简单示例。

这里矩阵计算我们采用gl-matrix库，github地址如下：

https://github.com/toji/gl-matrix

安装如下：这个库不需要再安装ts的定义，已经自带了。

npm i gl-matrix

第一步：定义点

let A = gl.vec3.fromValues(6, 6, 1)
let B = gl.vec3.fromValues(14, 14, 1)
let C = gl.vec3.fromValues(-2, 14, 1)
let G = gl.vec3.fromValues(12, 12, 1)

第二步：求新坐标系的X轴和Y轴的单位向量

let AB: gl.vec3 = gl.vec3.create()
let AC: gl.vec3 = gl.vec3.create()


gl.vec3.subtract(AB, B, A)
gl.vec3.subtract(AC, C, A)


let UnitAB: gl.vec3 = gl.vec3.create()
let UnitAC: gl.vec3 = gl.vec3.create()


gl.vec3.normalize(UnitAB, AB)
gl.vec3.normalize(UnitAC, AC)

第三步：构造计算矩阵

let mat = gl.mat3.fromValues(
  UnitAB[0],
  UnitAB[1],
  UnitAB[2],
  UnitAC[0],
  UnitAC[1],
  UnitAC[2],
  A[0],
  A[1],
  A[2]
)

第四步：求逆矩阵

let matInvert: gl.mat3 = gl.mat3.create()
gl.mat3.invert(matInvert, mat)

第五步：求新坐标系下的坐标G1

let G1: gl.vec3 = gl.vec3.create()
gl.vec3.transformMat3(G1, G, matInvert)

第六步：根据新求出的坐标反过来求原坐标系坐标G2

let G2 = gl.vec3.create()
gl.vec3.transformMat3(G2, G1, mat)

第七步：设置人工算出的值G3

let G3 = gl.vec3.fromValues(3 * Math.sqrt(8), 0, 1)

输出结果如下：验证矩阵变换结果符合预期

G:12,12,1
G1:8.485280990600586,0,1
G2:12,12,1
G3:8.485280990600586,0,1