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深度学习优化方法总结比较（SGD，Adagrad，Adadelta，Adam，Adamax，Nadam）

2023-10-28

作者丨ycszen

来源｜https://zhuanlan.zhihu.com/p/22252270

编辑丨极市平台

导读

 

本文仅对一些常见的优化方法进行直观介绍和简单的比较。

前言 

本文仅对一些常见的优化方法进行直观介绍和简单的比较，各种优化方法的详细内容及公式只好去认真啃论文了，在此我就不赘述了。

SGD 

此处的SGD指mini-batch gradient descent，关于batch gradient descent, stochastic gradient descent, 以及 mini-batch gradient descent的具体区别就不细说了。现在的SGD一般都指mini-batch gradient descent。 

SGD就是每一次迭代计算mini-batch的梯度，然后对参数进行更新，是最常见的优化方法了。即：

363972b2e35f1ad147c65e80f9a43494.png

56bf517337ec22a06924804f950c8340.png

其中，453c83281f95d2b807f3302bb56f68b4.png是学习率，b8e8343c6093fa35aec19094585794b0.png是梯度 SGD完全依赖于当前batch的梯度，所以 可理解为允许当前batch的梯度多大程度影响参数更新 

缺点：（正因为有这些缺点才让这么多大神发展出了后续的各种算法） 

选择合适的learning rate比较困难 - 对所有的参数更新使用同样的learning rate。对于稀疏数据或者特征，有时我们可能想更新快一些对于不经常出现的特征，对于常出现的特征更新慢一些，这时候SGD就不太能满足要求了

SGD容易收敛到局部最优，并且在某些情况下可能被困在鞍点【原来写的是“容易困于鞍点”，经查阅论文发现，其实在合适的初始化和step size的情况下，鞍点的影响并没这么大。感谢@冰橙的指正】

Momentum

momentum是模拟物理里动量的概念，积累之前的动量来替代真正的梯度。公式如下：

196e43c0c5d1108f1a10768fd068112f.png

ffdad3f4e18d8753eee41a9afaeeec6f.png

其中，14033b62f5567257560575f72fd9affc.png是动量因子

特点:

  • 下降初期时，使用上一次参数更新，下降方向一致，乘上较大的47dbbf976690b1c1f6ba4a64ab1fe31e.png能够进行很好的加速 

  • 下降中后期时，在局部最小值来回震荡的时候，03dbe28ba33bd06fc2cb22055995c779.png， 使得更新幅度增大，跳出陷阱 

  • 在梯度改变方向的时候，996a40cd4c9e7bf6faaffd4560e12ece.png能够减少更新 总而言之，momentum项能够在相关方向加速SGD，抑制振荡，从而加快收敛

Nesterov

nesterov项在梯度更新时做一个校正，避免前进太快，同时提高灵敏度。将上一节中的公式展开可得：

1ad8b17b67d9320b07ae8d4f886fe255.png

可以看出， 并没有直接改变当前梯度e9080c19419e7356f2dbc6e4a5423581.png，所以Nesterov的改进就是让之前的动量直接影响当前的动量。即： 

1ad061403b89ff034049a1e8afe1334d.png

ecce980e189d77845c7bd3ff18efe47c.png

4d4e8c98173244f61578856a4f9320fb.png

所以，加上nesterov项后，梯度在大的跳跃后，进行计算对当前梯度进行校正。如下图：

a3b9738b22cd7bf6d6a890964192ae20.png

momentum首先计算一个梯度(短的蓝色向量)，然后在加速更新梯度的方向进行一个大的跳跃(长的蓝色向量)，nesterov项首先在之前加速的梯度方向进行一个大的跳跃(棕色向量)，计算梯度然后进行校正(绿色梯向量) 

其实，momentum项和nesterov项都是为了使梯度更新更加灵活，对不同情况有针对性。但是，人工设置一些学习率总还是有些生硬，接下来介绍几种自适应学习率的方法 

Adagrad 

Adagrad其实是对学习率进行了一个约束。即： 

13a92e183bd16c0e889b008d7edc386f.png

b94f7a54ef68840322e1688c256b2db1.png

此处，对bd10f469eb23051e4f7c684cb670d9a7.png从1到57c26027a1bba88e7677df95ff937554.png进行一个递推形成一个约束项regularizer，9caeb2b1ca4b108c754498cf7f1a3b0c.png  ， e用来保证分母非0 

特点：

  • 前期3325e1d5e04f824c6c47fe5536722bf9.png较小的时候， regularizer较大，能够放大梯度 

  • 后期083beceb976c736b52e599da3c10ee0b.png较大的时候，regularizer较小，能够约束梯度 

  • 适合处理稀疏梯度 

缺点：

由公式可以看出，仍依赖于人工设置一个全局学习率 

89ca1193da2f1abe3b2c9a67c44d2ddf.png设置过大的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太大 

中后期，分母上梯度平方的累加将会越来越大，使6bc0db511a8fb0e9760407e8e1bdf087.png，使得训练提前结束 

Adadelta 

Adadelta是对Adagrad的扩展，最初方案依然是对学习率进行自适应约束，但是进行了计算上的简化。Adagrad会累加之前所有的梯度平方，而Adadelta只累加固定大小的项，并且也不直接存储这些项，仅仅是近似计算对应的平均值。即：  

a6d376c7b9354695e8e444acd2d390c1.png

在此处Adadelta其实还是依赖于全局学习率的，但是作者做了一定处理，经过近似牛顿迭代法之后： 

b9a49d404c41fe4ca1e1790c17841bfe.png

其中，8a3d93797331a83902ceecc8a57d0e74.png代表求期望。 

此时，可以看出Adadelta已经不用依赖于全局学习率了。 

特点：

  • 训练初中期，加速效果不错，很快 

  • 训练后期，反复在局部最小值附近抖动 

RMSprop 

RMSprop可以算作Adadelta的一个特例：

当12bd384babc7b2292acf515c8691529a.png时，1f3f7eaf2c7deb96d40304a701ec598b.png就变为了求梯度平方和的平均数。 

如果再求根的话，就变成了RMS(均方根)： 

a153149252d2440c3313995329749f7a.png

此时，这个RMS就可以作为学习率79d1687368b5a6bdbcd1310684c90927.png的一个约束： 

dfc113563f0e3b8c26728727bffccd97.png

特点：

  • 其实RMSprop依然依赖于全局学习率 

  • RMSprop算是Adagrad的一种发展，和Adadelta的变体，效果趋于二者之间

  • 适合处理非平稳目标 - 对于RNN效果很好 

Adam 

Adam(Adaptive Moment Estimation)本质上是带有动量项的RMSprop，它利用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计动态调整每个参数的学习率。Adam的优点主要在于经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有个确定范围，使得参数比较平稳。公式如下： 

61c78672724128d6031bd36d501669ee.png

其中，134617b60c77031048898f0bb5590980.png，aeb3d4cc3db0f0e4e3599a2cd25a98f7.png分别是对梯度的一阶矩估计和二阶矩估计，可以看作对期望a3b4673f907280925b1388e5dde74007.png，5eccb547ad17b23c133ed39c0d3abed5.png的估计；dd0a2610e0edf62b4d9d3ace94aeecad.png，278b18b61819a60be5b61b2def7877c8.png是对 a04cf84c161304993d9fbcbc66bcd9c2.png，10aa27a22fbc07de95a45cbd3e602833.png 的校正，这样可以近似为对期望的无偏估计。可以看出，直接对梯度的矩估计对内存没有额外的要求，而且可以根据梯度进行动态调整，而 对学习率形成一个动态约束，而且有明确的范围。

特点：

  • 结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点 

  • 对内存需求较小 

  • 为不同的参数计算不同的自适应学习率 

  • 也适用于大多非凸优化 - 适用于大数据集和高维空间 

Adamax 

Adamax是Adam的一种变体，此方法对学习率的上限提供了一个更简单的范围。公式上的变化如下： 

236f275c0745f347e71e476033e3e267.png

可以看出，Adamax学习率的边界范围更简单

Nadam 

Nadam类似于带有Nesterov动量项的Adam。公式如下： 

d35ce81249ab81301b9c9a420941a8c5.png

可以看出，Nadam对学习率有了更强的约束，同时对梯度的更新也有更直接的影响。一般而言，在想使用带动量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果。 

经验之谈 

对于稀疏数据，尽量使用学习率可自适应的优化方法，不用手动调节，而且最好采用默认值 SGD通常训练时间更长，但是在好的初始化和学习率调度方案的情况下，结果更可靠 如果在意更快的收敛，并且需要训练较深较复杂的网络时，推荐使用学习率自适应的优化方法。Adadelta，RMSprop，Adam是比较相近的算法，在相似的情况下表现差不多。 在想使用带动量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果

最后展示两张可厉害的图，一切尽在图中啊，上面的都没啥用了... ... 

b67bba346ab6657a7df0f5327170f427.png

17a3213d04c75ca369fb4f44b61df537.png

 损失平面等高线 

779b3e75ad884ec9844c3819b72be36d.png

6c6a090e484fabbaf0a12d94b6d3cfae.png

在鞍点处的比较

引用：

[1]Adagrad（http://www.jmlr.org/papers/volume12/duchi11a/duchi11a.pdf）

[2]RMSprop[Lecture 6e]

（http://www.cs.toronto.edu/~tijmen/csc321/lecture_notes.shtml）

[3]Adadelta（http://arxiv.org/abs/1212.5701）

[4]Adam（http://arxiv.org/abs/1412.6980v8）

[5]Nadam（http://cs229.stanford.edu/proj2015/054_report.pdf）

[6]On the importance of initialization and momentum in deep learning

（http://www.cs.toronto.edu/~fritz/absps/momentum.pdf）

[7]Keras中文文档（http://keras-cn.readthedocs.io/en/latest/）

[8]Alec Radford(https://twitter.com/alecrad)

[9]An overview of gradient descent optimization algorithms

（http://sebastianruder.com/optimizing-gradient-descent/）

[10]Gradient Descent Only Converges to Minimizers

（http://www.jmlr.org/proceedings/papers/v49/lee16.pdf）

[11]Deep Learning:Nature

（http://www.nature.com/nature/journal/v521/n7553/abs/nature14539.html）

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