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凸优化第三章凸函数 3.1基本性质和例子

2023-10-29

3.1基本性质和例子

  1. 定义
  2. 扩展值延伸
  3. 一阶条件
  4. 二阶条件
  5. 例子
  6. 下水平集
  7. 上境图
  8. Jensen不等式及其扩展
  9. 不等式

定义

函数f是凸函数，当f的定义域S是凸集，且\forall x_1,x_2\in S,\forall \theta\in [0,1],f(\theta x_1+(1-\theta)x_2)\leq \theta f(x_1)+(1-\theta)f(x_2)

严格凸函数：\forall x_1,x_2\in S,\forall \theta\in (0,1),f(\theta x_1+(1-\theta)x_2) < \theta f(x_1)+(1-\theta)f(x_2)

从几何上来看，如下图，函数f上的任意两点之间的弦都在函数图像之上。

凸函数

函数f是凸函数，当且仅当在与函数f的定义域S相交的任何直线上，f均是凸的。

f:R^n\rightarrow R,g:R\rightarrow R,g(t)=f(x+tv),dom(g)=\left\{t|x+tv\in dom(f)\right\}),\forall x\in dom(f),v\in R^n

当且仅当g(t)是凸的，f(x)是凸的。

利用此性质，可以将函数限制在直线上判断其凹凸性。

扩展值延伸

扩展值延伸，其实就是对函数f的扩展，对那些不属于dom(f)的点y，定义f(y)=\infty。

如果f是凸函数，定义其扩展值延伸\bar{f}:R^n \rightarrow R\cup \left\{ \infty \right\}，如：

\bar{f}(x)=\left\{\begin{matrix} f(x) & x\in dom(f)\\ \infty & x\notin dom(f) \end{matrix}\right.

显然如果f(x)是凸函数，\bar{f}(x)也是凸函数。

一阶条件

判断函数f是凸函数的方法之一是看其是否满足一阶条件。

可微：如果函数f可微表示f的梯度在开集dom(f)处处存在。

一阶条件：如果f可微，则函数f是凸函数的充要条件是dom(f)是凸集且\forall x,y\in dom(f)，下式成立：

f(y)\geqslant f(x)+\bigtriangledown f(x)^T(y-x)

一阶条件的证明：

（1）证明函数f是凸函数\Rightarrow一阶条件

函数f是凸函数，

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