一维动态规划-拾取硬币

2023-10-30

1.问题引入

假如有n个硬币排在一行，如： c [ 0 ] , c [ 1 ] , … , c [ n − 1 ] c[0],c[1],\dots ,c[n-1] c[0],c[1],…,c[n−1]

要求不能拾取相邻的两个硬币，以获得累加面值最大的拾取子序列。比如，有面值如下的硬币： 5 , 1 , 2 , 10 , 6 , 2 5,1,2,10,6,2 5,1,2,10,6,2

可以拾取5+2+6=13，也可以拾取1+10+2=13。以上两种拾取的硬币均不相邻，因此都是符合要求的拾取方式。但是，最大总面值的拾取应是5+10+2=17。这个拾取首先没有相邻的硬币，而且是所有可行拾取中累加面值最大的一个拾取。

以上问题最直接的算法是求出所有可行的拾取子序列，并求出它们各自的累加值，其中累加值最大的序列就是所求结果。也就是，从输入序列中穷举所有可行序列。由于序列中每一个元素要么在所求序列中，要么不在，这样将有 2 n 2^n 2n个可行序列。因此，采用穷举法来求解该问题的算法效率是指数规模，下面将介绍通过动态规划来获得一个更为高效的算法。

2.定义子问题

不妨设从硬币 c [ 0 ] c[0] c[0]直到 c [ i ] c[i] c[i]中累加和最大的值为 c o l l e c t _ c o i n s ( i ) collect\_coins(i) collect_coins(i).如果将每一个硬币都当成一个字符，输入硬币的前缀 c [ : i ] c[:i] c[:i]就是定义的子问题，该子问题的求解函数示为 c o l l e c t _ c o i n s ( ) collect\_coins() collect_coins()。由于 i i i取值 [ 0 , n − 1 ] [0,n-1] [0,n−1]，因此子问题的个数为 n n n。

3.猜测解

利用动态规划求解斐波那契数时，由于直接给出了斐波那契数的递归式，因此并不需要猜测解这一步。然而，当利用动态规划求解大部分问题时，都需要我们构建问题的递归解。为了求得子问题的解，就需要使用猜测这一方法。猜测就是一种尝试或者假设。对于子问题 c [ : i ] c[:i] c[:i]，考察硬币 c [ i ] c[i] c[i]，它存在两种可能的猜测：

最优解不包括第 i i i个硬币。那么前i个硬币累加和最大值应等于 c o l l e c t _ c o i n s ( i − 1 ) collect\_coins(i-1) collect_coins(i−1)
最优解包括第 i i i个硬币。那么前i个硬币累加和最大值则等于 c o l l e c t _ c o i n s ( i − 2 ) + c [ i ] collect\_coins(i-2)+c[i] collect_coins(i−2)+c[i]

在子问题 c [ : i ] c[:i] c[:i]的解中，我们考察硬币 c [ i ] c[i] c[i]。对于 c [ i ] c[i] c[i]，不妨先猜测最优解中不包括硬币 c [ i ] c[i] c[i]，则子问题 c [ : i − 1 ] c[:i-1] c[:i−1]的解等于子问题 c [ : i ] c[:i] c[:i]的解。比如c=[5，1， 2，10，6]，该子问题的解为5+10=15，最后的硬币6不在最优解中，那么将硬币6拿开后剩余的子问题为 c [ : i − 1 ] c[:i-1] c[:i−1]=[5，1，2，10]，这个子问题的解依然是5+10=15。

此外，硬币 c [ i ] c[i] c[i]也可能就在最优解中，那么子问题 c [ : i ] c[:i] c[:i]的解应等于子问题 c [ : i − 2 ] c[:i-2] c[:i−2]的解加上硬币 c [ i ] c[i] c[i]的面值。比如，子问题 c [ : i ] c[:i] c[:i]=[5，1，2，10]，其最优解为5+10=15。硬币10在最优解中，那么子问题 c [ : i − 2 ] c[:i-2] c[:i−2]=[5，1]的最优解为5，因此子问题 c [ : i ] c[:i] c[:i]| 的最优解15等于子问题c|:i-2]的最优解5加上 c [ i ] c[i] c[i]=10。

4.子问题之间的递归关系

c o l l e c t ‾ c o i n s ( i ) = m a x { c [ i − 1 ] + c o l l e c t ‾ c o i n s ( i − 2 ) , c o l l e c t ‾ c o i n s ( i − 1 ) , i ⩾ 2 } ( 1 ) \begin{aligned} collect \underline{~~} coins(i)=max\{c[i-1]+collect \underline{~~} coins(i-2),collect \underline{~~} coins(i-1),i \geqslant 2\} (1) \end{aligned} collect coins(i)=max{c[i−1]+collect coins(i−2),collect coins(i−1),i⩾2}(1)

该递归式表明 c o l l e c t _ c o i n s ( i ) collect\_coins(i) collect_coins(i)要么等于 c o l l e c t _ c o i n s ( i − 1 ) collect\_coins(i-1) collect_coins(i−1)，要么等于 c o l l e c t _ c o i n s ( i − 2 ) + c [ i − 1 ] collect\_coins(i-2)+c[i-1] collect_coins(i−2)+c[i−1]。由于原问题是求最大的累加面值，因此 c o l l e c t _ c o i n s ( i ) collect\_coins(i) collect_coins(i)的值应该等于它们之中较大的那个。当没有硬币时， c o l l e c t c o i n s ( ) = 0 collect_coins()=0 collectcoins()=0。只有一个硬币的话， c o l l e c t c o i n s ( ) collect_coins() collectcoins()应该等于当前的硬币面值。因此，式(1)的边界条件为， c o l l e c t ‾ c o i n s ( 0 ) = 0 , c o l l e c t ‾ c o i n s ( 1 ) = c [ 0 ] \begin{aligned} collect \underline{~~} coins(0)=0,collect \underline{~~} coins(1)=c[0]\end{aligned} collect coins(0)=0,collect coins(1)=c[0] 递归式(1)存在诸多重复的子问题，如 c o l l e c t _ c o i n s ( 1 ) , c o l l e c t _ c o i n s ( 2 ) , c o l l e c t _ c o i n s ( 3 ) collect\_coins(1),collect\_coins(2), collect\_coins(3) collect_coins(1),collect_coins(2),collect_coins(3)等。此外，还存在优化的子结构，也就是原问题的最优解可由各个子问题的最优解合成得到。这意味着如果采用自底向上的方法实现递归式(1)，可以获得较高的执行效率。

5.自底向上构造动态规划表

建立了子问题间的递归关系，就可以利用自底向上的方法求解递归关系。自底向上实现递归的本质就是填表，我们称该表为动态规划表。一个子问题就对应于表格的一个单元格，每一个单元格的值经由递归式来完成计算。因此，单元格在计算过程中存在相互依赖关系。

为了保证动态规划表内每一个单元格在计算过程中都有足够的数据，因此填表的过程必须满足拓扑排序。也就是说，表中某个单元的值只依赖于已有值的单元格。

6.Python实现时间复杂度O(n)算法求解拾取硬币

def bottom_top_collect_coins(row_coins):
    """
    自底向上实现递归策略获得累加面值最大拾取硬币子序列的所有子问题的动态规划表
    :param row_coins: 原始硬币列表
    :return: 拾取累加面值最大拾取硬币的子序列索引,最大面值
    """
    i = coins_num = len(row_coins)
    dp_table = [0] * (coins_num + 1)  # 初始化动态规划表
    dp_table[1] = row_coins[0]
    collect_trace = []  # 初始化拾取获得累加面值最大拾取硬币的子序列
    for k in range(2, coins_num + 1):  # 动态规划表比硬币序列长一位
        dp_table[k] = max(dp_table[k - 2] + row_coins[k - 1], dp_table[k - 1])
    # 回溯获得拾取序列索引
    while i >= 1:
        if dp_table[i] > dp_table[i - 1]:  # 确定拾取第i-1个硬币
            collect_trace.append(i - 1)
            i -= 2
        else:
            i -= 1
    collect_trace = collect_trace[::-1]  # 调整倒序累加面值最大拾取硬币的子序列为正序
    return collect_trace, dp_table[-1]

7.测试代码

if __name__ == '__main__':
    coins = [5, 1, 2, 10, 6, 2]
    track, max_sub_seq_value = bottom_top_collect_coins(coins)
    print("""原始硬币序列为:{}
拾取累加面值最大硬币的子序列索引为:{}
累加最大面值为:{}""".format(coins,track,max_sub_seq_value ))

8.运行截图

拾取硬币运行结果

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