使用Allan方差来确定MEMS陀螺仪的噪声参数，陀螺仪测量模型为：
使用长时间静止的陀螺仪数据对陀螺仪噪声参数进行分析，上式中，三个噪声参数N（角度随机游走），K（速率随机游走）和B（偏差不稳定性）。
Allan方差最初由David W. Allan开发，用于测量精密仪器的频率稳定性。 它还可用于识别固定陀螺仪测量中存在的各种噪声源。对于一份陀螺仪样本数据，其采样时间为 τ 0 \tau_{0} τ0，数据集合的长度分别为 τ 0 , 2 τ 0 , … , m τ 0 , ( m < ( L − 1 ) / 2 ) \tau_{0}, 2 \tau_{0}, \ldots, m \tau_{0},(m<(L-1) / 2) τ0,2τ0,…,mτ0,(m<(L−1)/2)，获得在每段数据上的平均值，Allan方差定义为数据平均值的样本方差，Allan方差在数据量较大时精度较高。
采样时间为 τ 0 \tau_{0} τ0， Ω \Omega Ω每一段的数据样本集合。
% Load logged data from one axis of a three-axis gyroscope. This recording
% was done over a six hour period with a 100 Hz sampling rate.
load('LoggedSingleAxisGyroscope', 'omega', 'Fs')
t0 = 1/Fs;
对每一段样本，计算输出角
θ
\theta
θ：
对于离散样本，使用乘法对其进行积分：
theta = cumsum(omega, 1)*t0;
然后计算Allan方差：
其中
τ
\tau
τ=m
τ
0
\tau_{0}
τ0，<>为整体平均值
整体平均值可以扩展为：
maxNumM = 100;
L = size(theta, 1);
maxM = 2.^floor(log2(L/2));
m = logspace(log10(1), log10(maxM), maxNumM).';
m = ceil(m); % m must be an integer.
m = unique(m); % Remove duplicates.
tau = m*t0;
avar = zeros(numel(m), 1);
for i = 1:numel(m)
mi = m(i);
avar(i,:) = sum( ...
(theta(1+2*mi:L) - 2*theta(1+mi:L-mi) + theta(1:L-2*mi)).^2, 1);
end
avar = avar ./ (2*tau.^2 .* (L - 2*m));
最后，Allan方差 σ ( t ) = σ 2 ( t ) \sigma(t)=\sqrt{\sigma^{2}(t)} σ(t)=σ2(t) 用于确定陀螺仪噪声参数。
adev = sqrt(avar);
figure
loglog(tau, adev)
title('Allan Deviation')
xlabel('\tau');
ylabel('\sigma(\tau)')
grid on
axis equal
结果如下（Allan方差曲线）：
在MATLAB中可以使用Allan方差的函数：
[avarFromFunc, tauFromFunc] = allanvar(omega, m, Fs);
adevFromFunc = sqrt(avarFromFunc);
figure
loglog(tau, adev, tauFromFunc, adevFromFunc);
title('Allan Deviations')
xlabel('\tau')
ylabel('\sigma(\tau)')
legend('Manual Calculation', 'allanvar Function')
grid on
axis equal
结果如下（Allan方差曲线）：
要获得陀螺仪的噪声参数，使用Allan方差与原始数据集中噪声参数的双侧功率谱密度（PSD）之间的以下关系：
根据上式，当通过具有传递函数
sin
4
(
x
)
/
(
x
)
2
\sin ^{4}(x) /(x)^{2}
sin4(x)/(x)2时，Allan方差与陀螺仪总噪声功率成正比关系，使用传递函数解释，带通取决于
τ
\tau
τ，这意味着可以通过改变滤波器带通或改变
τ
\tau
τ来获取不同的噪声参数。
角度随机游走被定义为陀螺仪输出的白噪声频谱，其功率谱密度可以表示为：
其中N代表了角度随机游走系数，代入原始PSD方程并执行积分：
上面的等式是在log-log图上绘制的斜率为-1/2的线。 N的值可以直接从该行读取。
% Find the index where the slope of the log-scaled Allan deviation is equal
% to the slope specified.
slope = -0.5;
logtau = log10(tau);
logadev = log10(adev);
dlogadev = diff(logadev) ./ diff(logtau);
[~, i] = min(abs(dlogadev - slope));
% Find the y-intercept of the line.
b = logadev(i) - slope*logtau(i);
% Determine the angle random walk coefficient from the line.
logN = slope*log(1) + b;
N = 10^logN
% Plot the results.
tauN = 1;
lineN = N ./ sqrt(tau);
figure
loglog(tau, adev, tau, lineN, '--', tauN, N, 'o')
title('Allan Deviation with Angle Random Walk')
xlabel('\tau')
ylabel('\sigma(\tau)')
legend('\sigma', '\sigma_N')
text(tauN, N, 'N')
grid on
axis equal
N =
0.0126
陀螺仪输出的红噪声（布朗噪声）频谱被定义为Rate Random Walk ，PSD（功率谱密度）如下：
其中K为Rate Random Walk系数，代入原始PSD方程并执行积分：
上面的等式是在log-log图上绘制的斜率为-1/2的线。 N的值可以直接从该行读取。
% Find the index where the slope of the log-scaled Allan deviation is equal
% to the slope specified.
slope = 0.5;
logtau = log10(tau);
logadev = log10(adev);
dlogadev = diff(logadev) ./ diff(logtau);
[~, i] = min(abs(dlogadev - slope));
% Find the y-intercept of the line.
b = logadev(i) - slope*logtau(i);
% Determine the rate random walk coefficient from the line.
logK = slope*log10(3) + b;
K = 10^logK
% Plot the results.
tauK = 3;
lineK = K .* sqrt(tau/3);
figure
loglog(tau, adev, tau, lineK, '--', tauK, K, 'o')
title('Allan Deviation with Rate Random Walk')
xlabel('\tau')
ylabel('\sigma(\tau)')
legend('\sigma', '\sigma_K')
text(tauK, K, 'K')
grid on
axis equal
K =
9.0679e-05
零偏不稳定性被定义为陀螺仪输出的粉红噪声频谱pink noise（闪烁噪声-flicker noise），功率谱密度表示如下：
其中B为零偏不稳定性系数，
f
0
f_{0}
f0为截止频率。
代入原始PSD方程并执行积分：
其中：
C
i
Ci
Ci =余弦积分函数.其中，
τ
\tau
τ远大于截止频率的倒数时，PSD方程为：
当绘制在对数图上时，上面的等式是斜率为0的直线。 B的值可以直接从该行读取，缩放比例为:
% Find the index where the slope of the log-scaled Allan deviation is equal
% to the slope specified.
slope = 0;
logtau = log10(tau);
logadev = log10(adev);
dlogadev = diff(logadev) ./ diff(logtau);
[~, i] = min(abs(dlogadev - slope));
% Find the y-intercept of the line.
b = logadev(i) - slope*logtau(i);
% Determine the bias instability coefficient from the line.
scfB = sqrt(2*log(2)/pi);
logB = b - log10(scfB);
B = 10^logB
% Plot the results.
tauB = tau(i);
lineB = B * scfB * ones(size(tau));
figure
loglog(tau, adev, tau, lineB, '--', tauB, scfB*B, 'o')
title('Allan Deviation with Bias Instability')
xlabel('\tau')
ylabel('\sigma(\tau)')
legend('\sigma', '\sigma_B')
text(tauB, scfB*B, '0.664B')
grid on
axis equal
B =
0.0020
现在已经计算了所有噪声参数，将Allan偏差绘制为量化参数的所有线。
使用imu传感器基于上面确定的噪声参数模拟陀螺仪测量。
% Simulating the gyroscope measurements takes some time. To avoid this, the
% measurements were generated and saved to a MAT-file. By default, this
% example uses the MAT-file. To generate the measurements instead, change
% this logical variable to true.
generateSimulatedData = false;
if generateSimulatedData
% Set the gyroscope parameters to the noise parameters determined
% above.
gyro = gyroparams('NoiseDensity', N, 'RandomWalk', K, ...
'BiasInstability', B);
omegaSim = helperAllanVarianceExample(L, Fs, gyro);
else
load('SimulatedSingleAxisGyroscope', 'omegaSim')
end
计算模拟的Allan偏差并将其与记录的数据进行比较：
[avarSim, tauSim] = allanvar(omegaSim, 'octave', Fs);
adevSim = sqrt(avarSim);
adevSim = mean(adevSim, 2); % Use the mean of the simulations.
figure
loglog(tau, adev, tauSim, adevSim, '--')
title('Allan Deviation of HW and Simulation')
xlabel('\tau');
ylabel('\sigma(\tau)')
legend('HW', 'SIM')
grid on
axis equal
该图显示，从imuSensor创建的陀螺仪模型生成的测量值与记录的数据具有相似的Allan偏差。 模型测量包含的噪声略小，因为温度相关参数不是使用gyroparams设置的。
本文按照MATHWORKS文档进行主观翻译，如有不当之处欢迎指出。
本文代码使用的MATLAB的版本为matlab2019a，基于Sensor Fusion and Tracking Toolbox。