最大子矩阵（动态规划c++）

题目描述：

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 × 1)子矩阵。
比如，如下4 × 4的矩阵
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
的最大子矩阵是
9 2
-4 1
-1 8
这个子矩阵的大小是15。

输入：

输入是一个N×N的矩阵。输入的第一行给出N(0<N≤100)。再后面的若干行中，依次(首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……)给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在[−127,127]。

输出：

输出最大子矩阵的大小。

样例：

输入：
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
输出：
15

思路：

我们都知道在一维情况下求最大连续子序列和的操作其实就是求最大连续子序列：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    dp[i]=max(a[i],dp[i-1]+a[i]);
}

那么该怎么推广到二维情况下呢：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

步骤：

1. 求矩阵1*k（k=1,2,3,4)
就是求每行的最大连续子序和
0 -2 -7 0 ans=0
9 2 -6 2 ans=11
-4 1 -4 1 ans=1
-1 8 0 -2 ans=8

2. 求矩阵大小是2*k（k=1,2,3,4）
这时我们可以在第1,2行或2,3行或3,4行找最大矩阵
例如：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2

因为取的是矩阵，肯定是竖着一列都取的，不可能这一列取到第i个元素，上一列取到第i-1个元素，这样我们就可以把要求的两行，两两加起来
9 0 -13 2

这样求出的最大连续子序和是9，这个结果也就是这个矩阵对应的最大矩阵和。

同理把

9 2 -6 2
-4 1 -4 1
和

-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
也分别加起来，三种情况下求出的最大值，就是2*k大小矩阵的最大值

3. 3 * k和4 * k的矩阵也是这样，最后求出最大子矩阵

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int a[105][105],b[105][105],dp[105];//b[j][k]表示从i行加到j行 第k列值的大小，将二维转为一维 
int ans,n;
void solve(int j)
{
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dp[i]=max(b[j][i],b[j][i]+dp[i-1]);
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)//从第i行开始加 
	{
		memset(b,0,sizeof(b));
		for(int j=i;j<=n;j++)//加到第j行 
		{
			for(int k=1;k<=n;k++)//第k列
			{
				b[j][k]=a[j][k]+b[j-1][k];
			} 
			 solve(j);
		}		
	}
	cout<<ans<<endl;
	
	return 0;
 }