LeetCode-1237. 找出给定方程的正整数解【双指针，二分查找】

题目描述：

给你一个函数 f(x, y) 和一个目标结果 z，函数公式未知，请你计算方程 f(x,y) == z 所有可能的正整数 数对 x 和 y。满足条件的结果数对可以按任意顺序返回。

尽管函数的具体式子未知，但它是单调递增函数，也就是说：

f(x, y) < f(x + 1, y)
f(x, y) < f(x, y + 1)
函数接口定义如下：

interface CustomFunction {
public:
// Returns some positive integer f(x, y) for two positive integers x and y based on a formula.
int f(int x, int y);
};
你的解决方案将按如下规则进行评判：

判题程序有一个由 CustomFunction 的 9 种实现组成的列表，以及一种为特定的 z 生成所有有效数对的答案的方法。
判题程序接受两个输入：function_id（决定使用哪种实现测试你的代码）以及目标结果 z 。
判题程序将会调用你实现的 findSolution 并将你的结果与答案进行比较。
如果你的结果与答案相符，那么解决方案将被视作正确答案，即 Accepted 。

示例 1：

输入：function_id = 1, z = 5
输出：[[1,4],[2,3],[3,2],[4,1]]
解释：function_id = 1 暗含的函数式子为 f(x, y) = x + y
以下 x 和 y 满足 f(x, y) 等于 5：
x=1, y=4 -> f(1, 4) = 1 + 4 = 5
x=2, y=3 -> f(2, 3) = 2 + 3 = 5
x=3, y=2 -> f(3, 2) = 3 + 2 = 5
x=4, y=1 -> f(4, 1) = 4 + 1 = 5

示例 2：

输入：function_id = 2, z = 5
输出：[[1,5],[5,1]]
解释：function_id = 2 暗含的函数式子为 f(x, y) = x * y
以下 x 和 y 满足 f(x, y) 等于 5：
x=1, y=5 -> f(1, 5) = 1 * 5 = 5
x=5, y=1 -> f(5, 1) = 5 * 1 = 5

提示：

1 <= function_id <= 9
1 <= z <= 100
题目保证 f(x, y) == z 的解处于 1 <= x, y <= 1000 的范围内。
在 1 <= x, y <= 1000 的前提下，题目保证 f(x, y) 是一个 32 位有符号整数。

解题思路一：双指针。首先我们不管f是什么，即function_id等于什么不管。但是我们可以调用customfunction中的f函数，然后我们遍历x,y(1 <= x, y <= 1000)只要f(x,y)=z的(x,y)即是我们需要的答案。然后我们从x=1与y=1000开始遍历。此时有三种情况：

• 情况一:f(x,y)>z，那么固定y，继续增大x，函数值也会继续增大。显然不符合题意。故将y减1缩小答案。

• 情况二:f(x,y)<z，那么固定y，继续增大x，函数值也会继续增大。显然是符合题意的。故将x加1增大答案。

• 情况三:f(x,y)=z，先将（x,y）加入答案，然后固定y，继续增大x，函数值也会继续增大。显然是不符合题意的。故将y减1缩小答案。（类似情况一）

/*
 * // This is the custom function interface.
 * // You should not implement it, or speculate about its implementation
 * class CustomFunction {
 * public:
 *     // Returns f(x, y) for any given positive integers x and y.
 *     // Note that f(x, y) is increasing with respect to both x and y.
 *     // i.e. f(x, y) < f(x + 1, y), f(x, y) < f(x, y + 1)
 *     int f(int x, int y);
 * };
 */

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> findSolution(CustomFunction& customfunction, int z) {
        vector<vector<int>> ans;
        int x=1,y=1000;
        while(x<=1000&&y>=1){
            int t=customfunction.f(x,y);
            if(t>z) --y;
            else if(t<z) ++x;
            else ans.push_back({x++,y--});
        }
        return ans;        
    }
};

时间复杂度：O(2C)//C=1000
空间复杂度：O(1)

解题思路二：二分查找。枚举x，二分查找y。找到之后x增大因为f对x,y递增故之后的y必小于middle。即f(x,middle)=z若要f(x+1,y)=z那么y必小于middle;对右边界的优化。

/*
 * // This is the custom function interface.
 * // You should not implement it, or speculate about its implementation
 * class CustomFunction {
 * public:
 *     // Returns f(x, y) for any given positive integers x and y.
 *     // Note that f(x, y) is increasing with respect to both x and y.
 *     // i.e. f(x, y) < f(x + 1, y), f(x, y) < f(x, y + 1)
 *     int f(int x, int y);
 * };
 */

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> findSolution(CustomFunction& customfunction, int z) {
        vector<vector<int>> res;
        int left = 1, right = 1000;//右边界right会不断缩小
        for(int x=1;x<=1000;x++) {//枚举x，二分查找y
            left = 1;//每次左边界left从1开始
            while(left<=right) {
                int middle=(left+right)/2;
                int t=customfunction.f(x, middle);
                if(t==z){
                    res.push_back({x, middle});
                    right=middle-1;//缩小右边界
                    break;//break之后x增大因为f对x,y递增故之后的y必小于middle。即f(x,middle)=z若要f(x+1,y)=z那么y必小于middle;
                }
                else if(t<z) left=middle + 1;
                else right=middle-1;//缩小右边界
            }
            //其实发现 right == 0 了可以直接返回
        }
        return res;
    }
};

时间复杂度：O(C+logC)//C=1000
空间复杂度：O(1)

解题思路三：0