如果给定向量空间
V
V
V在的一组基
B
=
{
b
1
⃗
,
b
2
⃗
,
b
3
⃗
,
.
.
.
b
n
⃗
}
B=\{\vec{b_1},\vec{b_2},\vec{b_3},...\vec{b_n}\}
B={b1,b2,b3,...bn}以及
V
V
V中的一个向量
x
⃗
\vec{x}
x,则
x
⃗
\vec{x}
x一定可以被这组基线性表示。假设:
x
⃗
=
c
1
b
1
⃗
+
c
2
b
2
⃗
+
c
3
b
3
⃗
+
.
.
.
+
c
n
b
n
⃗
\vec{x}=c_1\vec{b_1}+c_2\vec{b_2}+c_3\vec{b_3}+...+c_n\vec{b_n}
x=c1b1+c2b2+c3b3+...+cnbn,则称
x
⃗
\vec{x}
x在这组基
B
B
B下的坐标为
(
c
1
c
2
c
3
.
.
.
c
n
)
T
\begin{pmatrix}c_1&c_2&c_3&...&c_n\end{pmatrix}^T
(c1c2c3...cn)T。记为
[
x
⃗
]
B
[\vec{x}]_B
[x]B。
以上图
(
12
,
8
)
(12,8)
(12,8)为例,
ϵ
=
{
e
1
⃗
,
e
2
⃗
}
⟹
B
=
{
u
⃗
,
v
⃗
}
x
⃗
=
12
e
1
⃗
+
8
e
2
⃗
⟹
x
⃗
=
2
u
⃗
+
2
v
⃗
[
x
⃗
]
ϵ
=
(
12
8
)
⟹
[
x
⃗
]
B
=
(
2
2
)
\epsilon=\{\vec{e_1} ,\vec{e_2}\}\Longrightarrow B=\{\vec{u}, \vec{v}\}\\\vec{x}=12\vec{e_1}+8\vec{e_2}\Longrightarrow \vec{x}=2\vec{u}+2\vec{v}\\ [\vec{x}]_{\epsilon}=\begin{pmatrix}12\\8\end{pmatrix}\Longrightarrow [\vec{x}]_B=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}
ϵ={e1,e2}⟹B={u,v}x=12e1+8e2⟹x=2u+2v[x]ϵ=(128)⟹[x]B=(22) 一般认为的坐标系空间就是由
ϵ
\epsilon
ϵ构成的标准坐标系,
ϵ
\epsilon
ϵ所对应的即称为标准基。一定注意区分标准基和标准正交基,前者的范围更小。
u
⃗
=
(
4
,
1
)
T
=
4
e
1
⃗
+
1
e
2
⃗
v
⃗
=
(
2
,
3
)
T
=
2
e
1
⃗
+
3
e
2
⃗
[
x
⃗
]
B
=
[
(
2
,
2
)
T
]
B
=
2
u
⃗
+
2
v
⃗
=
2
(
4
e
1
⃗
+
1
e
2
⃗
)
+
2
(
2
e
1
⃗
+
3
e
2
⃗
)
\vec{u}=(4,1)^T=4\vec{e_1}+1\vec{e_2}\\\vec{v}=(2,3)^T=2\vec{e_1}+3\vec{e_2}\\ [\vec{x}]_B=[(2,2)^T]_B=2\vec{u}+2\vec{v}=2(4\vec{e_1}+1\vec{e_2})+2(2\vec{e_1}+3\vec{e_2})
u=(4,1)T=4e1+1e2v=(2,3)T=2e1+3e2[x]B=[(2,2)T]B=2u+2v=2(4e1+1e2)+2(2e1+3e2) 因为
(
4
,
1
)
(4, 1)
(4,1)和
(
2
,
3
)
(2, 3)
(2,3)这两个基向量是在标准坐标系下衡量的,所以通过上面的转换可以将
(
2
,
2
)
(2, 2)
(2,2)这一点转换到标准坐标系中。将这一规律进行总结,
假设有一组基
B
=
{
b
1
⃗
,
b
2
⃗
,
b
3
⃗
,
.
.
.
b
n
⃗
}
B=\{\vec{b_1},\vec{b_2},\vec{b_3},...\vec{b_n}\}
B={b1,b2,b3,...bn},设立矩阵
P
B
=
(
b
1
⃗
b
2
⃗
.
.
.
b
n
⃗
)
P_B=\begin{pmatrix}\vec{b_1}&\vec{b_2}&...&\vec{b_n}\end{pmatrix}
PB=(b1b2...bn)。在这组基下的一个向量
[
x
⃗
]
B
[\vec{x}]_B
[x]B,有
[
x
⃗
]
ϵ
=
P
B
[
x
⃗
]
B
[\vec{x}]_{\epsilon}=P_B[\vec{x}]_B
[x]ϵ=PB[x]B。其中
P
B
P_B
PB称为坐标转换矩阵。
相应的,如果一组正交基构成的坐标转换矩阵
P
B
P_B
PB,将标准坐标系中的向量转入到
B
B
B构成的坐标系也是十分容易的
P
B
−
1
[
x
⃗
]
ϵ
=
P
B
−
1
P
B
[
x
⃗
]
B
P
B
−
1
[
x
⃗
]
ϵ
=
[
x
⃗
]
B
P_B^{-1}[\vec{x}]_{\epsilon}=P_B^{-1}P_B[\vec{x}]_B\\P_B^{-1}[\vec{x}]_{\epsilon}=[\vec{x}]_B
PB−1[x]ϵ=PB−1PB[x]BPB−1[x]ϵ=[x]B
同理,反过来将标准单位矩阵转换为坐标系
B
B
B也依旧是成立的,
P
C
→
B
=
P
B
−
1
P
C
=
P
B
−
1
I
=
P
B
−
1
P_{C\rightarrow B}=P_B^{-1}P_C=P_B^{-1}I=P_B^{-1}
PC→B=PB−1PC=PB−1I=PB−1