一般的搜索树, 如果元素是顺序加入的话, 那么这棵树就会退化成链表
对于任意一个节点, 左右子树的高度差不超过1的树就是平衡二叉树, 比如下面这棵树
height表示高度, 父节点的高度是左右子节点中最大的那个高度加一
平衡二叉树的高度和节点数之间的关系是 O(log n)的
因为每次加入新的节点, 都要看节点的高度, 所以节点的结构如下
class Node{
key; // 用来统计词频的话, key就是单词
value; // value是单词的出现频率
Node left, right; // 左右节点
height; // 树的高度
}
父节点的平衡因子(balance factor)是左子树与右子树的高度(height)之差(可正可负)
叶子节点的左右子节点为空, 高度为0, 平衡因子为0
当树中有一个节点平衡因子大于1或小于-1时, 这棵树就不平衡, 如下图
只有一个节点, 或者两个节点的树是平衡的
当向一棵平衡树插入一个新的节点时, 可能会不平衡
如果不平衡, 那么那个新插入的节点的父亲节点, 祖先节点的平衡因子都会大于1或小于-1
所以新插入节点都要向上回溯来维护其平衡性
不平衡的情况有4种:
如下图中, 是框中的节点带来了不平衡
我们可以把框中部分用下图来代替, 蓝色部分是他们的子树
这种情况可以称为 Left Left, 意思是新添了一个节点 z 到根节点 y 左子树的左子树, 导致根节点的平衡因子绝对值大于1
这种情况用代码表示为getBalanceFactor(y) > 1 && getBalanceFactor(x) > 0, 再次说明 平衡因子是拿左子树的height减右子树的height, getBalanceFactor(y) = 2, getBalanceFactor(x) = 1
只需要把x的右子树换成y, y的左子树换位x原来的右子树 T3 即可达到平衡, 同时还保持了二叉树搜索树的性质
相当于z不动, 将y节点以x为轴顺时针旋转, 也称为右旋转, 效果如下
Node rightRotate(Node y){
Node x = y.left;
Node T3 = x.left;
// 向右旋转
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height, 先更新y, 再更新x, 因为y在下面
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
还有一种情况我们称为 Right Right, 意思是新添了一个节点 z 到根节点 y 右子树的右子树
这种情况用代码表示为getBalanceFactor(y) < -1 && getBalanceFactor(x) < 0
只需要把x的左子树换成y, y的右子树换位x原来的左子树 T3 即可达到平衡, 同时还保持了二叉树搜索树的性质
相当于z不动, 将y节点以x为轴逆时针旋转, 也称为左旋转, 效果如下
Node leftRotate(Node y){
Node x = y.right;
Node T3 = x.left;
// 向左旋转
x.left = y;
y.right = T3;
// 更新height, 先更新y, 再更新x, 因为y在下面
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
另一种情况称为 Left Right, 意思是新添了一个节点 z 到根节点 y 左子树的右子树
这种情况用代码表示为getBalanceFactor(y) > 1 && getBalanceFactor(x) < 0
这种情况需要两次旋转 (要注意得保持二叉搜索树的性质),
首先把节点x以节点z为轴逆时针旋转, 节点y不动 (左旋转)
再把节点y以z为轴顺时针旋转, 得到效果如下 (右旋转)
另一种情况称为 Right Left, 意思是新添了一个节点 z 到根节点 y 右子树的左子树
这种情况用代码表示为getBalanceFactor(y) < -1 && getBalanceFactor(x) > 0
这种情况也需要两次旋转
先节点x绕节点z顺时针旋转 (右旋转)
节点y再绕z逆时针旋转 (左旋转)
删除一个元素的话, 就得拿一个新的元素来代替自己放在原来的位置, 我们可以拿比它大的最小元素, 或者比它小的最大元素来代替它, 这样可以同时保持二叉搜索树的性质
待删除的节点分为四种情况
删除之后记得要重新维护平衡, 方法同上
Map.java
public interface Map<K, V> {
void add(K key, V value);
V remove(K key);
boolean contains(K key);
V get(K key);
void set(K key, V newValue);
int getSize();
boolean isEmpty();
}
AVL.tree
import test.FileOperation; // 测试用, 可删
import java.util.ArrayList; // 测试用, 可删
public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> implements Map<K, V>{
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree(){
root = null;
size = 0;
}
@Override
public int getSize() {
return size;
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
/**
* 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
* @return
*/
public boolean isBST(){
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys); // 中序遍历一遍, 然后看是不是按顺序的
for(int i=1; i<keys.size(); i++)
if(keys.get(i-1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
return false;
return true;
}
/**
* 判断一棵树是否是平衡二叉树
* @return
*/
public boolean isBalanced(){
return isBalanced(root);
}
/**
* 判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树，递归算法
* @param node
* @return
*/
private boolean isBalanced(Node node) {
if(node == null)
return true;
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
return false;
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right); // 父节点的平衡因子小于1, 子节点不一定也都小于1
}
/**
* 中序遍历, 保存到一个ArrayList中
* @param node
* @param keys
*/
private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys) {
if(node == null){
return;
}
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
private int getHeight(Node node){
if(node == null)
return 0;
return node.height;
}
/**
* 向二分搜索书中添加元素(key, value)
* @param key
* @param value
*/
@Override
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
/**
* 获得节点node的平衡因子
* @param node
* @return
*/
private int getBalanceFactor(Node node){
if(node == null)
return 0;
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y){
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
// 向右旋转
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height, 先更新y, 再更新x, 因为y在下面
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T4 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T3 z T4 T3 T1 T2
// / \
// T1 T2
private Node leftRotate(Node y){
Node x = y.right;
Node T3 = x.left;
// 向左旋转
x.left = y;
y.right = T3;
// 更新height, 先更新y, 再更新x, 因为y在下面
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
/**
* 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
* 如果key已存在, 则更新value
* @param node
* @param key
* @param value
* @return 插入新节点后二分搜索树的根
*/
private Node add(Node node, K key, V value) {
if(node == null){
size++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else
node.value = value;
// 1. 更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
// 2. 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
// 3. 维护平衡
// LL
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) > 0) // 不用>=0, 因为node.left左右一定是不相等的, 如果相等的话, 那就是有两个节点导致了不平衡, 这是不可能的, 但是加上也可以啦
return rightRotate(node);
// RR
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) < 0)
return leftRotate(node);
// LR
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0){
node.left = leftRotate(node.left); // 转化成LL的情况
return rightRotate(node);
}
// RL
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0){
node.right = rightRotate(node.right); // 转化成RR的情况
return leftRotate(node);
}
// 平衡结束
return node;
}
/**
*
* @return 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
*/
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
/**
* 从二分搜索树中删除键为key的节点
* @param key
* @return
*/
@Override
public V remove(K key) {
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
if(node == null)
return null;
Node retNode;
if(key.compareTo(node.key) < 0){
node.left = remove(node.left, key);
retNode = node; // 删除完节点后可能会打破平衡, 先不返回
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0){
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
retNode = rightNode;
}
// 删除节点右子树为空的情况
else if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
retNode = leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
else{
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = null;
node.right = null;
// size--; removeMin已经改过size了
retNode = successor;
}
}
if(retNode == null){ // retNode为空
return null;
}
// 1. 更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
// 2. 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
// 3. 维护平衡
// LL
// getBalanceFactor(retNode.left) >= 0 的等于号是必须要的, 如果删除T4的话,
// y 就会出现z, T3两个节点同时导致不平衡, 这在添加的时候不可能出现,
// / \ 但在删除的时候可能出现
// x T4
// / \
// z T3
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
return rightRotate(retNode);
// RR
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
return leftRotate(retNode);
// LR
// getBalanceFactor(retNode.left) >= 0 的等于号何以省略, 因为 =0 就是上面的情况, 在上面用比较简单的方法就处理掉了
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0){
retNode.left = leftRotate(retNode.left); // 转化成LL的情况
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0){
retNode.right = rightRotate(retNode.right); // 转化成RR的情况
return leftRotate(retNode);
}
// 平衡结束
return retNode;
}
/**
* @return 以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
*/
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null){
return null;
}
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // key.compareTo(node.key) > 0
return getNode(node.right, key);
}
@Override
public boolean contains(K key) {
return getNode(root, key) != null;
}
@Override
public V get(K key) {
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
@Override
public void set(K key, V newValue) {
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 仅测试用
public static void main(String[] args) {
System.out.println("Pride and Prejudice");
ArrayList<String> words = new ArrayList<>();
if(FileOperation.readFile("on-the-road.txt", words)) {
System.out.println("Total words: " + words.size());
AVLTree<String, Integer> map = new AVLTree<>();
for (String word : words) {
if (map.contains(word))
map.set(word, map.get(word) + 1);
else
map.add(word, 1);
}
System.out.println("Total different words: " + map.getSize());
System.out.println("Frequency of PRIDE: " + map.get("pride"));
System.out.println("Frequency of PREJUDICE: " + map.get("prejudice"));
System.out.println("is BST: " + map.isBST());
System.out.println("is Balanced: " + map.isBalanced());
for(String word : words){
map.remove(word);
if(!map.isBST() || !map.isBalanced()){
throw new RuntimeException("ERROR");
}
}
}
System.out.println();
}
}
把ALVTree包装一下就作为AVLMap, 如果不使用value, 只用key的话也可以作为AVLSet使用