你首先总是应该尝试用a的值替换x．如果分母不为0，那么你一切顺利，极限值就是你做替换后所得到的值．
代入x=-1得
其分母不为0，因此，-2就是极限值．
如
代入x=2得 （4-6+2）/（2-2）,简化为0/0.这被称作不定式
我们可以借助因式分解这一重要技巧来求解
x^2-3x+2可以被分解为（x-2）（x-1）.因此，通过删除公因子我们可以写出
就可以将x=2代入到表达式（x-1）中了；你会得到2-1，其结果是1 是极限值
例：
直接代入x=3,会得到0/0
通过观察发现分子是x3和33的差 利用立方差公式化简
分母有一个明显的因子是x2，因此它可以被写成x2(x2-5x+6)．二次的x2-5x+6也可以被分解
要是分母为0但分子不为0在那种情况下，将总会牵扯到一条垂直渐近线，即有理函数的图像在你感兴趣的x值上会有一条垂直渐近线
f是一个我们关心的有理函数，图下面则是x=a处的各种极限
例：
代入x=1得出-5/0
因此，我们必定是在处理上述四种情形中的一种
当x=1时，分子(2x2-x-6)等于-5，因此，当在1的附近稍微移动一下x，则分子保持负值．
那么分母里的因子x会怎样呢？当x=1时，这个因子当然是1，它是正的．并且，当你在1的附近稍微移动一下x，它也保持为正的．关键因子是（x-1）3，当x>1时它为正，而当x<1时为负．
当x比1大一点的时候，f（x）是负的；而当x比1小一点的时候，f（x）是正的．比对上述的四幅图，只有第三幅图对应我们的问题．
如果将式子改为
现在在x=1的两边有负值，因此必定有
例：
代入x=5，会得到0/0型的不定式
需要做的是，把分子分母同时乘以
得到
利用公式（a-b）（a+b）=a2-b2
代入x =5得到5/4
例：pL（x）是p的首项
化简得
当x变得非常大时，其后面三项趋于0．因此
这样就证明了
此方法的一般思想是：当看到某个关于p的多项式p（x）是多于一项时，把它代以
例：
分子代以:
分母代以:
得
例：
例：
其中p和q为多项式，我们可以说：
（1）如果p的次数等于q的次数，则极限是有限的且非零；
（2）如果p的次数大于q的次数，则极限是∞或-∞；
（3）如果p的次数小于q的次数，则极限是0.
(当x→-∞,也成立）
处理多项式型函数的原理与处理多项式的类似，只是这次首项是什么可能不会那么清晰．平方根（或立方根、四次根等）的出现会造成很大干扰．
例：
解为：
将式子改为：
分子中的项3x变成了3x3
最高次数的项为3x^3
现在必须把分子代以
解为：
最高次项相等 例：
分子分母同时乘以分子的共轭表达式
通过平方差公式化简
再次化简为：
在分母上使用乘除方法，得出
提出最高次项
最后得-5/12
当x是一个非常大的负数时，在任意和中，最高次数项仍然会占主导．
例：
对于某个正的n，当x→-∞时，任何形如C/xn的项都会趋于0,与当x→∞时的情形是一样的
只有当在最后取极限的时候才会看到，当x→∞时和x→-∞时是不同的．现在，-x/18趋于∞而不是-∞.
当x为负时，
当你面对x→-∞时的多项式型函数的极限时，类似情况也会出现
例：
在运算过程中必须将根号4x5化简为-2x3 因为x趋于负无穷
在处理四次方根、六次方根等时，你也需要同样小心．
如果用任意的偶数替换每一个4，结果仍然是正确的．另一方面，如果用一个奇数替换4的话，那结果就不正确了．
还有一点，即使x<0
因为根据定义，x2不可能是负的，[插图]也不可能是负的，因此那里不可能有一个负号！
总结
设f（x）=|x|/x，
当x为正时f（x）会怎样．这时|x|这个量就是x，因此，如果x是任意的正数，那么f（x）=1．另一方面，如果x为负，那么|x|=-x,f（x）=-x/x=-1．这就是说，f（x）=|x|/x只是“如果x >0,f（x）=1；如果x<0,f（x）=-1”的另一种花哨说法而已．
对于要求的左极限，需要从左侧接近x=0
这个绝对值，它取决于x+2≥0还是x+2<0．这些条件可以被重新写成x≥-2或x<-2．在第一种情况下，|x+2|=x+2；而在第二种情况下，|x+2|=-（x+2）．最后的结果是，当x>-2时，|x+2|/（x+2）等于1；而当x<-2时，它则是-1．
要求的左极限等于-1（同时，右极限是1，故双侧极限不存在）.
