《因果推断入门》总结

2023-11-02

内容来源：饺子博士and饭老师

一、概率统计基础工具

二、图模型

一、概率统计基础工具

1. 随机事件A，则对应概率为P(A)；

2. 条件概率：

如果 $P(B) > 0$ ，则 $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ；

如果 $P(B) = 0$ ，则 $P(A \mid B) = 0$ ；

3. 独立事件的条件概率:

$P(A \mid B) = P(A)$ （A、B独立）；

4. 条件独立的条件概率：

$P(A \mid B,C) = P(A \mid C)$ （在C的条件下，A、B独立）；

5. 随机变量的条件概率：

P(X = x | Y = y) = P(X = x)；

6. 如果 $P(A \cap B) \neq \varnothing$ ， $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

7. 贝叶斯定理：

$P(A \mid B) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)}= \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}$

8. 期望：

$E(X) = \sum_{x}^{}x P(X = x)$

$E(g(x)) = \sum_{x}^{}g(x) P(X = x)$

$E(X) \approx \bar{E} = \frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_{i}$

9. 条件期望：

$E(Y \mid X = x) = \sum_{y}^{}yP(Y = y \mid X = x)$

10. 方差：

$Var(X) = E((x - \mu )^{2})$

$Var(X) \approx \hat{\sigma ^{2}} = \frac{1}{n - 1}\sum_{1}^{n}(x_{i} - \bar{x})^{2}$

11. 协方差：

$Cov(X, Y) = E[(X-E(X))(Y - E(Y))]$

$Cov(X, Y) \approx \hat{\sigma }_{xy} = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n}(x - \bar{x})(y - \bar{y})$

12. 相关系数：

$\rho _{xy} = \frac{\sigma _{xy}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}$

$\rho _{xy} \approx \hat{\rho _{xy}} = \frac{\hat{\sigma _{xy}}}{\hat{\sigma _{x}}\hat{\sigma _{y}}}$

13. 回归方程：

$f^{*}(x) = E(Y \mid X = x)$

$f^{*}(x) = E(Y \mid X = x) = X^{T}\beta$ liner regression

$f^{*}(x) = E(Y \mid X = x) = \sum_{j = 1}^{p}f_{j}(x_{j})$ addtive model

$f^{*}(x) = E(Y \mid X = x) = \sum_{1}^{n}\alpha _{i}K(x_{i},x)$ kernel SVM

$f^{*}(x) = E(Y \mid X = x) = T_{\theta }(x)$ regression tree

$f^{*}(x) = E(Y \mid X = x) = \sum_{t = 1}^{T}T_{t, \theta _{t}}(x)$ random forest

14. 独立可以推出不相关，不相关无法推出独立

蒙提霍尔问题

令X代表玩家选择门号，即X = {1, 2, 3}

令Y代表汽车所在门号，即Y = {1, 2, 3}

令Z代表主持人所展示门号，即Z = {1, 2, 3}

在玩家选定1号门后主持人选定3号门的概率：

$P(Z = 3 \mid X = 1) = P(Z = 3 \mid X = 1, Y = 1)P(Y = 1) +$

$P(Z = 3 \mid X = 1, Y = 2)P(Y = 2) +$

$P(Z = 3 \mid X = 1, Y = 3)P(Y = 3)$

$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{1}{3}$

$= \frac{1}{2}$

在Z = 3 ，X = 1的情况下，Y = 1的概率：

$P(Y = 1 \mid X = 1, Z = 3) = \frac{P(Y = 1, X = 1 \mid Z = 3)}{P(Z = 3 \mid X = 1)}$

$= \frac{P(Z = 3 \mid X = 1, Y = 1)P(Y = 1 \mid X = 1)}{P(Z = 3 \mid X = 1)}$

$= \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} }{ \frac{1}{2}}$

$= \frac{1}{3}$

在Z = 3 ，X = 1的情况下，Y = 2的概率：

$P(Y = 2 \mid X = 1, Z = 3) = \frac{P(Y = 2, X = 1 \mid Z = 3)}{P(Z = 3 \mid X = 1)}$

$= \frac{P(Z = 3 \mid X = 1, Y = 2)P(Y = 2 \mid X = 1)}{P(Z = 3 \mid X = 1) }$

$= 1 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$

$= \frac{2}{3}$

二、图模型

1. 相邻节点：

Y与X，Z相邻

2. 完全图：

3. 路径：

无向路径：

有向路径：

4. 父子节点：

5. 闭环：

6. 有向无环图：

三、结构因果模型

事件X通过方法导致事件Y的发生，可以描述为 $Y = f(X)$ 。因为因果关系存在时间上线性关系，故 $X \neq f^{-1}(Y)$ 。有时不仅仅只有一个“因”，即： $Y = f(X, Z, ...)$ 。

因素也有可能是其他事件产生的现象，即因素可能不是直接因素。

$Z= g(X)$ ， $Y = f(Z)$ ， $Y = f(g(X))$

图模型表示：

$Y = f(X)$ 因果模型：

$Y = f(X,Z)$ 因果模型：

$Z = f(X)$ ， $Y = g(Z)$ ， $Y = g(f(X))$ 因果模型：

$Y = g(Z)$ ， $Z = f(X,W)$ 因果模型：

其中X、W节点不由其他事件生成，称为外生变量，Z、Y 节点称为内生变量。

如果X、Y是统计相关，也不能证明X、Y之间存在因果性。如果X、Y是存在因果性，X、Y之间绝大多数是统计相关。

链状结构（Chain）

路径X->Y->Z构成链状结构。

四、辛普森悖论

当人们尝试探究两种变量（比如新生录取率与性别）是否具有相关性的时候，会分别对之进行分组研究。然而，在分组比较中都占优势的一方，在总评中有时反而是失势的一方。

分组与群体不同例子1（药物影响性）：

分组数据：

男性
	没恢复	恢复	总数
吃药	6	81	87
没吃药	36	234	270

女性
	没恢复	恢复	总数
吃药	71	192	263
没吃药	25	55	80

群体数据：

	没恢复	恢复	总数
吃药	77	273	350
没吃药	61	289	350

由上得：

	X	Y	Z
0	女性	没恢复	没吃药
1	男性	恢复	吃药

$P(Y = 1 \mid X = 1, Z = 1) = 0.93$

$P(Y = 1 \mid X = 1, Z = 0) = 0.87$

$P(Y = 1 \mid X = 0, Z = 1) = 0.73$

$P(Y = 1 \mid X = 0, Z = 0) = 0.69$

$P(Y = 1 \mid Z = 1) = 0.78$

$P(Y = 1 \mid Z = 0) = 0.83$

在分组中：

$P(Y = 1 \mid X = 1, Z = 1) > P(Y = 1 \mid X = 1, Z = 0)$

$P(Y = 1 \mid X = 0, Z = 1) > P(Y = 1 \mid X = 0, Z = 0)$

从数据上看吃药是对恢复有益的。

在群体中：

$P(Y = 1 \mid Z = 1) < P(Y = 1 \mid Z = 0)$

从数据上看吃药是对恢复有害的。

从图上看，性别也治疗效果是存在影响的。故存在因果模型如下所示：

性别、吃药和恢复构成叉状结构，因此要研究吃药和恢复之间是否有相关性，应该阻塞性别使得吃药和恢复独立。故应看分组数据进行分析。

分组与群体不同例子2（多种影响性）：

	没吃药	吃药
低血压	81/87（93%）	234/270（87%）
高血压	192/263（73%）	55/80（69%）
合并数据	270/350（78%）	289/350（83%）

显然，分组数据的效果是负向的，而群体数据的效果是正向的。血压对治疗效果有影响，同时，药物对血压也有影响。

血压、吃药和恢复构成链状结构，因此要研究吃药和恢复之间是否有相关性，不能阻塞血压的影响，这本身就是所研究的部分相关性，故应看群体数据进行分析。

五、D-分隔

D-分隔是一种用来判断变量是否条件独立的图形化方法。相比于非图形化方法，D-分隔更加直观，且计算简单。对于一个DAG图，D-分隔方法可以快速的判断出E中两个节点之间是否是条件独立的。

X、Y是D-分隔的 <=> X、Y独立

X、Y在条件Z下D-分隔 <=> X、Y独立 | Z

链状结构中：

X、Y是D-连通的，当阻塞Z可使得X、Y是D-分隔，X ⫫ Y | Z。

叉状结构中：

X、Y是D-连通的，当阻塞Z可使得X、Y是D-分隔，X ⫫ Y | Z。

对撞结构中：

X、Y是D-分隔的，因为Z阻塞了X、Y。当给定Z时，可使得X、Y具有相关性，X ≡ Y | Z

例子：

因为W属于对撞结构使得X、Y是D-分隔的。

六、模型检验和等价类

模型检验

图可以推出任意两个节点的统计相关性。数据可以进行统计分析，估计变量的统计相关性。若二者出现不一致问题，则可以认为模型假设错误。

eg：

从上图中可以推出： W ⫫ $Z_{1}$ | X。若数据可以分析回归方程： $W = \beta _{0} + \beta _{1} \times Z_{1}+\beta _{2} \times X$ ，则说明 W ≡ $Z_{1}$ | X 。因此模型是错误的。

等价类

相关性	叉状结构	链状结构
X ≡ Y	✔︎	✔︎
X ≡ Z	✔︎	✔︎
Y ≡ Z	✔︎	✔︎
X ≡ Y \| Z	✔︎	✔︎
X ⫫ Z \| Y	✔︎	✔︎
Y ≡ Z \| X	✔︎	✔︎

相关性	叉状结构	对撞结构
X ≡ Y	✔︎	✔︎
X ≡ Z	✔︎	✘
Y ≡ Z	✔︎	✔︎
X ≡ Y \| Z	✔︎	✔︎
X ⫫ Z \| Y	✔︎	✘
Y ≡ Z \| X	✔︎	✔︎

相关性	G1	G2
X ≡ Y	✔︎	✔︎
X ≡ Z	✔︎	✔︎
Y ≡ Z	✔︎	✔︎
X ≡ Y \| Z	✔︎	✔︎
X ⫫ Z \| Y	✔︎	✔︎
Y ≡ Z \| X	✔︎	✔︎

1. 链状结构与叉状结构是无法区分的，即等价；

2. 链状结构和叉状结构与对撞结构是可以区分的，即不等价；

3. 对状结构的相邻父节点存在有向边是无法区分的，即等价；

eg：

七、乘积分解法则

结构因果模型的相应图模型不是循环图时，变量的联合分布表示为:

$P(X_{1},...,X_{n}) = \prod_{i = 1}^{n}P(X_{i}|pa(X_{i}))$

其中 $pa(X_{i})$ 为节点 $X_{i}$ 的所有父节点。

eg：

$P(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5}) = \prod_{i = 1}^{5}P(X_{i}|pa(X_{i}))$

$=P(X_{1})P(X_{2}|X_{1})P(X_{3}|X_{1})P(X_{4}|X_{2},X_{3})P(X_{5}|X_{4})$

八、混淆变量

同时影响原因变量与结果变量的变量，称为混淆变量。例如分组与群体不同例子1中，性别为混淆变量；分组与群体不同例子2中，血压不是混淆变量，因为其是原因变量导致而影响结果变量。

剔除混淆变量

数据获取方式：

1. 观测数据，只是记录数据，不会数据的产生进行干涉；

2. 试验数据，对试验对象进行干涉，例如对照试验；

观测数据难以使用因果推断，试验数据易于使用因果推断。因此在随机试验中对试验对象进行干预，使得变量单一，便可剔除混淆变量。但是并不是所有的试验都可以通过随机试验来获得试验数据，而是通过观测数据。

九、A/B test

A/B test一般使用于互联网公司对新功能上线效果分析。其实现方式为：将线上流量进行分流，使得流量从服务器获得的数据不同，并在客户端观察并记录线上用户对此反应，后根据分析数据进行评价新功能的影响，从而做出决策。以网页为例，通过负载均衡等将线上流量分成A、B（可以更多，即AA/B test、AAA/B test，但都是A/B test），A流量获得新设计的页面，B流量依然获得旧页面。同时，在两个页面上进行点击统计（可以是留存等），分析两个页面之间的差异，从而决定是否进一步推流。

十、总结

事物普遍存在因果性，同时存在相关性混淆因果关系，因果推断就是有效“武器”。例如，张三是电商，他想发放优惠卷从而提高营业额，结果也如同他所想。但恰巧此时存在双十一活动，那提高营业额是因为优惠卷还是双十一便存在争议。如果对其做随机试验便可以清晰了解双方差异。

因果推断可以使用概率统计工具对试验数据进行分析，从而总结或者论证一个结构因果模型去阐述事物的因果性。也可以通过结构因果模型去生成数据或者对数据进行优化后分析，从而使得展示效果更加明显。

在机器学习中，特征之间是存在相关性和因果性的。在做决策和判断时，我们往往需要因果性，因此识别特征之间的因果性是必要的，而因果推断是重要武器。因果推断与机器学习的结合，是有双向促进作用的。

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学习总结

数据分析