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从连续时间傅里叶级数到快速傅里叶变换

2023-11-03

在计算机上编程做信号处理时，我们通常用的是FFT, 但是开始学信号处理时，一般是从FS开始的。所以这里整理一下从FS到FFT“演变”的过程。以下是傅里叶“家族”的一些名称:

FS(Fourier Series)  连续时间周期信号的傅里叶级数

FT(Fourier Transform)  连续时间非周期信号的傅里叶变换

DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 离散时间傅里叶变换

DFS(Discrete Fourier Series) 离散傅里叶级数

DFT(Discrete Fourier Transform) 离散傅里叶变换

FFT(Fast Fourier Transform) 快速傅里叶变换


首先，要从FS说起的。假设有一个正弦信号sin(w0t)，那么在频域它是什么呢？就是在w0处有一条竖线！如果有一个信号是sin(w0t)+sin(w1t)，那么在频域，它是两条竖线(w0处和w1处)。如果是更为复杂的周期信号，那么相应得，在频域有好多条竖线!(好像说了一堆废话)。不过，我们可以通过这些竖线，知道这个复杂的周期信号的成分，也可以通过抹掉一些频率的方法改变周期信号的成分(滤波)。总之，FS给我们提供了一种方法，使我们可以用来分析连续时间周期信号的成分。需要提一下，在时间上连续的周期信号，在频域是离散的！

但是，在实际中，大部分信号是非周期的，于是就FT就到来了。如何将周期信号推广到非周期信号呢？高人们是这么做的：先假设这个信号是周期的，周期为T，于是可以得到该周期信号的FS, 然后领T->无穷大，这时，相应的FS就变成了FT。具体在频域上的反映是，原本有间隔的竖条

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数字信号处理

傅里叶

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