【PI控制】位置式PI的拉普拉斯变化和离散化（在开关电源的应用）

2023-11-03

0. 导读

开关电源主要是利用MCU的PWM波控制MOS管导通与截止。以达到控制输出电压或则输出电流的作用。以下描述均建立在开关电源控制上。

1. 位置式PI

位置式PI控制式对于咱这种小白是一种比较友善和直观的控制算法。很形象的描述了对控制对象的控制方式。

$y(k)=e(k)*Kp+ ki*\sum_{0}^{k}(e(k))$

其中e(k)表示当前误差，比如参考电压与当前输出电压的差值。

y(k)为PI的输出结果，可以是PWM的占空比或者其他环路的输入。

kp，ki分别是比例环节的系数和积分环节的系数

只要存在误差，y(k)就会变化。最后参考和实际数值的误差为0时。累加项（连续时叫积分，离散时叫累加）不会增加和减少，比例项目一直为零。系统到达稳定状态。

该方程简单使用，很容易理解。但是怎么才可以转换成数学表达式呢。

2. 位置PI的拉式变化

下式为位置式PI的连续表达式：

$y(t)=kp(e(t)+\frac{1}{Ti}\int_{0}^{t}e(t)dt)$

将其离散化后：

$y(k)=Kp*(e(k)+\frac{T}{Ti}\sum_{0}^{k}e(k))$

这里说明以下T怎么来的，T为采样周期。积分本来就是求面积，这里离散相当于将原来的曲线化成了宽度为T，高度为e(k)的矩形加在一起的面积。大概类似于下图，不过整个红线需要左移一个时间周期。https://blog.csdn.net/delvac/article/details/78403758

展开方程：

$y(k)=Kp*e(k)+Kp*\frac{T}{Ti}*\sum_{0}^{k}e(k)$

这里的Kp*T/Ti就是前面讲位置pi的Ki系数。

这样位置式pi和公式就建立了联系。

对本小节的第一个公式进行拉式变化：

$Y(s)=Kp*e(s)+\frac{Kp}{Ti}*e(s)*\frac{1}{s}$

上式变换成传递函数：

$G(s)=Kp*(\frac{s+\frac{1}{Ti}}{s})$

3.拉式变换的离散化

使用常用的离散方法（这里使用双线性变换）：

$s=\frac{2}{T}*\frac{z-1}{z+1}$

这里令Kp=1，Ti=1，采样时间是T=1s，则最后的传函变成了：

$G(z)=\frac{1.5*z-0.5}{z-1}$

写成序列的形式就是：

$Y(z)/X(z)=\frac{1.5-0.5*z^{-1}}{1-z^{-1}}$

$Y(z)*(1-z^{-1})={(1.5-0.5*z^{-1})}*{X(z)}$

$y(k)=1.5*x(k)-0.5*x(k-1)+y(k-1)$

这个可以直接在程序中使用。

前后bode图对比，发现改变并不大，在低频段的增益曲线几乎完全相等。

离散前

离散后

4. 极点增加

补偿设计时，经常会遇到需要增加零极点，去改变系统传递函数的增益、相位裕量和幅值裕量的情况。

这里举例说明在连续传函中怎么添加极点。零点同理；

如果传函为：

$G(s)=\frac{s+1}{s}$

这个传递函数的零点是-1，极点在坐标轴原点，增益是1。bode图为：

现在加一个-2的极点，bode图和公式变成：

$G(s)=\frac{s+1}{s*(s+2)}$

但是这是不对的，和原来的相比这里的低频增益发生了改变。原来的增益是1，现在分母加了一个极点其模为（ $\sqrt{1^{2}+2^{2}}$ ），所以增益下降了 $20*log^{\sqrt{5}}\approx 6.98$ （看bode图要对应横坐标哟）

所以需要，补回来增益，所以变成了：

$G(s)=\frac{s+1}{s*(s+2))}*\sqrt{5}$

这样才一样。有什么不对的地方请指出来。我也是小白。谢谢啦

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