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使用C++ Eigen库求解线性方程组Ax=b

2023-11-04

Eigen(http://eigen.tuxfamily.org)是常用的 C++ 矩阵运算库，具有很高的运算效率。大部分 需要在 C++ 中使用矩阵运算的库，都会选用 Eigen 作为基本代数库，例如 Google Tensorflow，Google Ceres，GTSAM 等。本次编程实现***A***为100X100随机矩阵时，用QR和Cholesky分解求x。同时总结了一些有关线性方程组数值解法的原理。

正文：

1. 在什么条件下，x有解且唯一？

在这里插入图片描述

2. 高斯消元法的原理是什么？

高斯消元主要用来求解线性方程组，也可以求解矩阵的秩，矩阵的逆。其实高斯消元的过程就是手算解方程组的过程：加减消元，消去未知数，如果有多个未知数，就一直消去，直到得到类似kx=b（k和b为常数，x为未知数）的式子，就可以求解出未知数x，然后我们回代，依次求解出各个未知数的值，就解完了方程组。
换句话说，分两步：

  1. 加减消元
  2. 回代求未知数值

以下有高斯消元C++模版:
https://blog.csdn.net/pengwill97/article/details/77200372

3. QR分解的原理是什么？

QR 分解是三种将矩阵分解的方式之一。这种方式，把矩阵分解成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的积。
在这里插入图片描述

对于Ax=b，
直接求A的逆有时过于复杂，因此使用QR分解算法：
在这里插入图片描述
详细定理见：
https://blog.csdn.net/xyz599/article/details/53759527

4. Cholesky分解的原理是什么？

Pass，整理中。

5. Eigen编程实例

编程实现***A***为100X100随机矩阵时，用QR和Cholesky分解求x。
在这里插入图片描述
输出结果：
Cholesky分解效率很高。
在这里插入图片描述

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