[信息论与编码理论专题-2]:信息与熵

2023-11-04

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前言:什么是熵

熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1865年所提出。最初是用来描述“能量退化”的物质状态参数之一,在热力学中有广泛的应用。但那时熵仅仅是一个可以通过热量改变来测定的物理量,其本质仍没有很好的解释,直到统计物理、信息论等一系列科学理论发展,熵的本质才逐渐被解释清楚,即,熵的本质是一个系统“内在的混乱程度”。

它在控制论、概率论、数论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用,在不同的学科中也有引申出的更为具体的定义,按照数理思维从本质上说,这些具体的引申定义都是相互统一的,熵在这些领域都是十分重要的参量

低熵,就是高概率,近乎确定性、不费脑子,高关联决定论、高因果联系,低噪度,散点差集中度高,低成本,就是强弱差别明显,就是道德制度法律执行有效,交易成本低,有效率。

高熵,就是低概率,不确定性,费脑子,不确定低关联,低因果关系,高噪度,散点分布厉害,高成本,就是强弱差别不明显,就是道德制度法律执行无效,交易成本高,无效率。

熵增定律是克劳修斯提出的热力学定律,克劳修斯引入了熵的概念来描述这种不可逆过程,即热量从高温物体流向低温物体是不可逆的,其物理表达式为:S =∫dQ/T或ds = dQ/T。

孤立系统总是趋向于熵增,最终达到熵的最大状态,也就是系统的最混乱无序状态。

但是,对开放系统而言,由于它可以将内部能量交换产生的熵增,通过环境向系统增加能量的方式维持系统原有的熵值,所以开放系统有可能趋向熵减而达到有序状态。但这需要外部能量的支撑,当没有外部能量的时候,熵减或熵不变的有序系统就会转向熵增的无序系统。

所谓无序:就是组成每个系统的元素发生的概率是随机的,不确定性的,信息量越大。

越是有序,说明事物的状态越是确定的,事物的状态越是有序的、确定性的,说明事物的信息量越少。

熵与概率:

一件事件,发生的概率越大(确定性的发生)或越小(确定性的不发生),则熵值越小。

当一件事件发生的概率为0.5时,表明该事件的发送与不发生是等概率的,表明事件的发生是随机的 ,则此时该事件的熵是最大的。

第1部分  离散变量的非平均自信息

第2部分  离散集的非平均自信息

第3部分  离散集的非平均自信息

第4部分  离散集的非平均互信息

第5部分  连续随机变量的微分熵

第6部分  连续随机变量的互信息


附录

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