本文是一篇非常容易理解，同时会很有收获的傅里叶变换推导教程
文章是学习B站DR-CAN老师傅里叶级数和傅里叶变换系列课程后的学习总结，主要目的以个人复习巩固为主，同时也分享给大家一些心得以及非常好的一位老师
附上链接 DR-CAN老师视频课地址
对傅里叶级数以及傅里叶变换不太了解，或者想开始了解的话，推荐可以先看一篇非常有趣同具深度的一篇傅里叶级数与傅里叶变换的知乎简介
附上链接傅里叶分析之掐死教程
下面正片开始
首先我们介绍一个集合：三角函数系
{ 1 , s i n x , c o s x , s i n 2 x , c o s 2 x , . . . . . . . . . s i n ( n x ) , c o s ( n x ) } \{1,sinx,cosx,sin2x ,cos2x,.........sin(nx),cos(nx)\} {1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,.........sin(nx),cos(nx)}
有没有发现有些奇怪——没错这个1出现的非常突兀，那我现在换成下面这个形式
{ s i n 0 x , c o s 0 x , s i n x , c o s x , s i n 2 x , c o s 2 x , . . . . . . . . . s i n ( n x ) , c o s ( n x ) } \{sin0x,cos0x,sinx,cosx,sin2x,cos2x,.........sin(nx),cos(nx)\} {sin0x,cos0x,sinx,cosx,sin2x,cos2x,.........sin(nx),cos(nx)}
集合中的 { 0 ， 1 } \{0，1\} {0，1}就是 { s i n 0 x , c o s 0 x } \{sin0x,cos0x\} {sin0x,cos0x}
所以我们可以这样表示三角函数集：
f
(
n
)
=
{
s
i
n
(
n
x
)
c
o
s
(
n
x
)
n=0,1,2.......
f(n)= \begin{cases}sin(nx) & \text{}\\cos(nx) & \text{n=0,1,2.......} \end{cases}
f(n)={sin(nx)cos(nx)n=0,1,2.......(这个n放不到中间我也很头疼）
接下来我们讨论三角函数的正交性，通俗认为就是垂直
对于三角函数集中任取两个不同的三角函数相乘在-pi到+pi进行积分的结果都是0，数学表示：
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
c
o
s
(
m
x
)
d
x
=
0
n
≠
m
（
1
）
\int_{-\pi}^\pi {sin(nx)cos(mx)} \,{\rm d}x=0\qquad n\not=m\quad（1）
∫−ππsin(nx)cos(mx)dx=0n=m（1）
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
c
o
s
(
m
x
)
d
x
=
0
n
≠
m
（
2
）
\int_{-\pi}^\pi {cos(nx)cos(mx)} \,{\rm d}x=0\qquad n\not=m\quad（2）
∫−ππcos(nx)cos(mx)dx=0n=m（2）
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
s
i
n
(
m
x
)
d
x
=
0
n
≠
m
（
3
）
\int_{-\pi}^\pi {sin(nx)sin(mx)} \,{\rm d}x=0\qquad n\not=m\quad（3）
∫−ππsin(nx)sin(mx)dx=0n=m（3）
这里说明一下
（1）式在n=m的情况下依然成立（可理解为特殊情况）
如果感觉不好理解正交的概念，我们借用一点解析几何的概念：
我们都知道两个二维向量正交说明在xy平面上两向量相互垂直
a
⃗
(
1
,
−
2
)
b
⃗
(
2
,
1
)
a
⃗
⋅
b
⃗
=
0
\vec{a}(1,-2)\quad\vec{b}(2,1)\quad\vec{a}\cdot\vec{b}=0
a
(1,−2)b
(2,1)a
⋅b
=0
则有
1
⋅
2
+
−
2
⋅
1
=
0
1\cdot2+-2\cdot1=0
1⋅2+−2⋅1=0
现在拓展到n维向量
a
⃗
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4...
a
n
)
b
⃗
(
b
1
,
b
2
,
b
3
,
b
4...
b
n
)
a
⃗
⋅
b
⃗
=
0
\vec{a}(a1,a2,a3,a4...an)\quad\vec{b}(b1,b2,b3,b4...bn)\quad\vec{a}\cdot\vec{b}=0
a
(a1,a2,a3,a4...an)b
(b1,b2,b3,b4...bn)a
⋅b
=0
依然要表明a向量与b向量正交
则有
∑
i
=
1
i
=
n
a
i
b
i
=
0
\sum_{i=1}^{i=n}a_{i}b_{i}=0
i=1∑i=naibi=0
这是n个离散的向量加和，回到我们的三角函数系，系中的每一个三角函数都是连续的函数，我们想象将连续的三角函数拆分为离散的无穷多个点，这些无穷多个对应点相乘后相加，就是我们所说的连续正交，各个离散点求和时的求和号变为积分号，也就得到了上面的（1），（2），（3）式
可以将连续三角函数理解为无穷向量空间
同时我们希望讨论（2）式和（3）式在n=m情况下的结果,这是在后续推导中会用到结论
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
c
o
s
(
m
x
)
d
x
=
π
n
=
m
\int_{-\pi}^\pi {cos(nx)cos(mx)} \,{\rm d}x=\pi\qquad n=m\quad
∫−ππcos(nx)cos(mx)dx=πn=m
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
s
i
n
(
m
x
)
d
x
=
π
n
=
m
（
4
）
\int_{-\pi}^\pi {sin(nx)sin(mx)} \,{\rm d}x=\pi\qquad n=m\quad（4）
∫−ππsin(nx)sin(mx)dx=πn=m（4）
利用三角函数和差化积（二倍角）非常好推导
有了以上基础我们可以开始第一步啦
通过级数的知识我们知道，周期为2pi的函数是可以展开为一系列三角函数的加和：
f ( n ) = ∑ n = 0 ∞ a n c o s ( n x ) + ∑ n = 0 ∞ b n s i n ( n x ) （ 5 ） f(n)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}cos(nx)+\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}sin(nx)\quad（5） f(n)=n=0∑∞ancos(nx)+n=0∑∞bnsin(nx)（5）
这个式子和教科书上给出的傅里叶级数展开式有点不同对吗
f
(
n
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
[
a
n
c
o
s
(
n
x
)
+
b
n
s
i
n
(
n
x
)
]
F
r
o
m
t
e
x
t
b
o
o
k
s
（
6
）
f(n)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}cos(nx)+b_{n}sin(nx)]\quad From\ textbooks（6）
f(n)=2a0+n=1∑∞[ancos(nx)+bnsin(nx)]From textbooks（6）
相信大部分人和我是一样的，能发现两式a0的所在位置的不同
但是我也相信，绝大部分人知道a0的函数式但是却不会求a0的
接下来我们对（5）中提取出n=0项
f
(
n
)
=
a
0
+
∑
n
=
1
∞
a
n
c
o
s
(
n
x
)
+
∑
n
=
1
∞
b
n
s
i
n
(
n
x
)
（
7
）
f(n)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}cos(nx)+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}sin(nx)\quad（7）
f(n)=a0+n=1∑∞ancos(nx)+n=1∑∞bnsin(nx)（7）
注意这里虽然也是a0，但和（6）式中的a0意义不同在这里标记为a0（7）
现在我们想要求出a0（7） 的值，对（7）式两边进行（-pi，pi）的积分
∫ − π π f ( n ) d x = ∫ − π π a 0 d x + ∫ − π π 【 ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n x ) + ∑ n = 1 ∞ b n s i n ( n x ) 】 d x （ 8 ） \int_{-\pi}^\pi f(n) \,{\rm d}x=\int_{-\pi}^\pi a_{0} \,{\rm d}x+\int_{-\pi}^\pi 【\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}cos(nx)+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}sin(nx)】 \,{\rm d}x\quad（8） ∫−ππf(n)dx=∫−ππa0dx+∫−ππ【n=1∑∞ancos(nx)+n=1∑∞bnsin(nx)】dx（8）
由于三角函数的正交性，我们发现（8）式最后两项（含有三角函数的项）积分都为0
可以得到
a 0 = 1 2 π ∫ − π π f ( n ) d x （ 9 ） a_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(n) \,{\rm d}x\quad（9） a0=2π1∫−ππf(n)dx（9）
同样我们对（7）式两边同乘cos（mx）和sin（mx）再进行（-pi，pi）的积分利用三角函数正交性可以得到这里会用到前面（4）式得到的结论：
a
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
n
)
⋅
c
o
s
(
n
x
)
d
x
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(n)\cdot cos(nx) \,{\rm d}x\quad
an=π1∫−ππf(n)⋅cos(nx)dx
b
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
n
)
⋅
s
i
n
(
n
x
)
d
x
（
10
）
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(n)\cdot sin(nx) \,{\rm d}x\quad（10）
bn=π1∫−ππf(n)⋅sin(nx)dx（10）
事实上教科书上为了统一方便（9）（10）三个式子，将（9）式中的a0乘2定义为a0，就得到了我们熟悉的傅里叶级数展开系数公式由这个式子我们就可以将一个周期为2pi的函数，展开为一系列三角函数的和集
周期为2pi 的函数太多于单一，我们希望知道任意周期函数的傅里叶级数展开，我们通过周期为2pi的傅里叶级数展开公式为引，推导周期为2l的函数的傅里叶级数展开 ：
首先我们做一个简单的伸缩变换
x
=
π
l
t
（
11
）
x=\frac{\pi}{l}t\quad（11）
x=lπt（11）
那么也就有以下的代换关系
| x x x | t t t |
|---|---|
| − π -\pi −π | − l -l −l |
| π \pi π | l l l |
| 2 π 2\pi 2π | 2 l 2l 2l |
| d x dx dx | π l d t \frac{\pi}{l}dt lπdt |
将这些代换关系带入我们之前得到的周期为2pi的傅里叶级数展开式中，我们可以得到
a
0
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
t
)
d
t
a_{0}=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(t) \,{\rm d}t\quad
a0=l1∫−llf(t)dt
a
n
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
t
)
⋅
c
o
s
(
n
π
l
t
)
d
t
a_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(t)\cdot cos(\frac{n\pi}{l}t) \,{\rm d}t\quad
an=l1∫−llf(t)⋅cos(lnπt)dt
b
n
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
t
)
⋅
s
i
n
(
n
π
l
t
)
d
t
（
12
）
b_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(t)\cdot sin(\frac{n\pi}{l}t) \,{\rm d}t\quad（12）
bn=l1∫−llf(t)⋅sin(lnπt)dt（12）
在工程和实际生活中，我们一般认为时间t是从0时刻开始，且周期T=2l，那么我们可以做一点小小的变换`
∫
−
l
l
d
t
=
∫
0
2
l
d
t
=
∫
0
T
d
t
\int_{-l}^l \,{\rm d}t\quad=\int_{0}^{2l} \,{\rm d}t\quad=\int_{0}^{T} \,{\rm d}t\quad
∫−lldt=∫02ldt=∫0Tdt
同时我们引入
ω
=
2
π
T
\omega=\frac{2\pi}{T}\quad
ω=T2π用函数周期和角频率来代换三角函数中的pi
这时候我们就得到了任意周期函数的傅里叶级数分解形式：
f
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
[
a
n
c
o
s
(
n
ω
t
)
+
b
n
s
i
n
(
n
ω
t
)
]
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)]\quad
f(t)=2a0+n=1∑∞[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]
a
0
=
2
T
∫
0
T
f
(
t
)
d
t
a_{0}=\frac{2}{T}\int_{0}^T f(t) \,{\rm d}t\quad
a0=T2∫0Tf(t)dt
a
n
=
2
T
∫
0
T
f
(
t
)
⋅
c
o
s
(
n
ω
t
)
d
t
a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^T f(t)\cdot cos(n\omega t) \,{\rm d}t\quad
an=T2∫0Tf(t)⋅cos(nωt)dt
b
n
=
2
T
∫
0
T
f
(
t
)
⋅
s
i
n
(
n
ω
t
)
d
t
（
13
）
b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^T f(t)\cdot sin(n\omega t) \,{\rm d}t\quad（13）
bn=T2∫0Tf(t)⋅sin(nωt)dt（13）
这里提出两点疑问
（1）当周期函数的周期很大并趋于无穷的时候又会变成什么样呢
（2）n的最大值的选取对级数叠加的结果有什么影响
解决这两个问题我们需要对上（13）式再进行变换（因为三角函数太多且不统一，在分析时较为困难）
接下来请出宇宙第一美丽公式（人类认知）
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
↓
\downarrow
↓
欧拉公式
e
j
π
+
1
=
0
e^{j\pi}+1=0
ejπ+1=0
而我们最常用的形式是这样的：
e
j
x
=
c
o
s
x
+
j
s
i
n
x
（
14
）
e^{jx}=cosx+jsinx\quad（14）
ejx=cosx+jsinx（14）
我们这里做一个小小的变形，并且加入
ω
\omega
ω使得适用于我们的公式：
c
o
s
n
ω
t
=
e
j
ω
n
t
+
e
−
j
ω
n
t
2
cosn\omega t=\frac{e^{j\omega nt}+e^{-j\omega nt}}{2}\quad
cosnωt=2ejωnt+e−jωnt
s
i
n
n
ω
t
=
−
j
e
j
ω
n
t
−
e
−
j
ω
n
t
2
sinn\omega t=-j\frac{e^{j\omega nt}-e^{-j\omega nt}}{2}\quad
sinnωt=−j2ejωnt−e−jωnt
将上式带入（13）式中
f
（
t
）
f（t）
f（t）的表达式里我们可以得到下面的式子：
f
(
t
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
a
n
−
j
b
n
2
e
j
ω
n
+
∑
n
=
1
∞
a
n
+
j
b
n
2
e
−
j
ω
n
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}-j b_{n}}{2}e^{j\omega n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}+j b_{n}}{2}e^{-j\omega n}\quad
f(t)=2a0+n=1∑∞2an−jbnejωn+n=1∑∞2an+jbne−jωn
这个式子呢由三项构成，看上去不是那么的美妙而且很繁琐，我们对第一项做等效替换，第二项不动，第三项用-n代替n：
f
(
t
)
=
∑
n
=
0
0
a
0
2
e
j
ω
n
t
+
∑
n
=
1
∞
a
n
−
j
b
n
2
e
j
ω
n
t
+
∑
n
=
−
∞
−
1
a
−
n
+
j
b
−
n
2
e
j
ω
n
t
f(t)=\displaystyle\ \color{red}\sum_{n=0}^{0}\displaystyle\ \color{black}\frac{a_{0}}{2}e^{j\omega nt}+\displaystyle\ \color{red}\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\ \color{black}\frac{a_{n}-j b_{n}}{2}e^{j\omega nt}+\displaystyle\ \color{red}\sum_{n=-\infty}^{-1}\displaystyle\ \color{black}\frac{a_{-n}+j b_{-n}}{2}e^{j\omega nt}\quad
f(t)= n=0∑0 2a0ejωnt+ n=1∑∞ 2an−jbnejωnt+ n=−∞∑−1 2a−n+jb−nejωnt
这里我们可以明显发现n，，，，，，，
他打通关了——没错，从负无穷一直加到了正无穷
我们将其中的公因式提出来，并且将求和号合并可以得到：
f
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
C
n
e
j
ω
n
t
(
15
)
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{j\omega nt}\quad(15)
f(t)=n=−∞∑∞Cnejωnt(15)
C n C_{n} Cn表示除公因式之外的系数
我舒服了，你呢。。
当然，我们这里对 C n C_{n} Cn在不同n值下的取值也需要给出：（通过上式也可以明显得到）
C
(
n
)
=
{
a
0
2
n=0
a
n
−
j
b
n
2
n=1,2.......
a
−
n
+
j
b
−
n
2
n=-1,-2.......
（
16
）
C(n)= \begin{cases}\frac{a_{0}}{2} & \text{n=0}\\\frac{a_{n}-j b_{n}}{2} & \text{n=1,2....... }\\\frac{a_{-n}+j b_{-n}}{2}& \text{n=-1,-2....... } \end{cases}（16）
C(n)=⎩⎪⎨⎪⎧2a02an−jbn2a−n+jb−nn=0n=1,2....... n=-1,-2....... （16）
(这个公式字咋这么小）
式（15）和（16）的限制条件就构成了傅里叶级数的指数形式（目前还不是最简形式，下文还有化简）
从傅里叶级数到傅里叶变换的过程，首先从傅里叶级数的指数形式的系数，也就是上面的
C
n
C_{n}
Cn，进行讨论
我们把（13）式中的
a
0
，
a
n
，
b
n
a_{0}， a_{n} ，b_{n}
a0，an，bn带入（16）式中(需要用到三角函数奇偶性）：
C
n
C_{n}
Cn=
1
T
∫
0
T
f
（
t
）
d
t
（
n
=
0
）
\frac{1}{T}\int_{0}^T f（t）{\rm d}t\quad（n=0）
T1∫0Tf（t）dt（n=0）
1
T
∫
0
T
f
（
t
）
（
c
o
s
n
ω
t
−
j
s
i
n
n
ω
t
）
d
t
（
n
=
1
,
2
,
3....
）
\frac{1}{T}\int_{0}^T f（t）（cosn\omega t-jsinn\omega t）{\rm d}t\quad（n=1,2,3....）
T1∫0Tf（t）（cosnωt−jsinnωt）dt（n=1,2,3....）
1
T
∫
0
T
f
（
t
）
（
c
o
s
n
ω
t
−
j
s
i
n
n
ω
t
）
d
t
（
n
=
−
1
,
−
2
,
−
3....
）
\frac{1}{T}\int_{0}^T f（t）（cosn\omega t-jsinn\omega t）{\rm d}t\quad（n=-1,-2,-3....）
T1∫0Tf（t）（cosnωt−jsinnωt）dt（n=−1,−2,−3....）
是不是看起来还是有点复杂？
我们再用欧拉公式将里面的三角函数化为指数形式试试？
（这里的思路和上面化简
f
（
t
）
f（t）
f（t）的想法是类似的）
C
n
C_{n}
Cn=
1
T
∫
0
T
f
（
t
）
e
0
d
t
=
1
T
∫
0
T
f
（
t
）
e
−
j
ω
n
t
d
t
（
n
=
0
）
\displaystyle\frac{1}{T}\int_{0}^T f（t）e^{0}{\rm d}t=\color{red}\frac{1}{T}\int_{0}^T f（t）e^{{-j\omega nt}}{\rm d}t\quad（n=0）
T1∫0Tf（t）e0dt=T1∫0Tf（t）e−jωntdt（n=0）
1
T
∫
0
T
f
（
t
）
e
−
j
ω
n
t
d
t
（
n
=
1
,
2
,
3....
）
\displaystyle\ \color{red}\frac{1}{T}\int_{0}^T f（t）e^{-j\omega nt}{\rm d}t\quad（n=1,2,3....）
T1∫0Tf（t）e−jωntdt（n=1,2,3....）
1
T
∫
0
T
f
（
t
）
e
−
j
ω
n
t
d
t
（
n
=
−
1
,
−
2
,
−
3....
）
\displaystyle\ \color{red}\frac{1}{T}\int_{0}^T f（t）e^{-j\omega nt}{\rm d}t\quad（n=-1,-2,-3....）
T1∫0Tf（t）e−jωntdt（n=−1,−2,−3....）
我们发现，，n，，，它又通关了
也就是说，在n从负无穷到正无穷的变化过程中，我们可以用一个表达式来表示 C n C_{n} Cn
C n C_{n} Cn=
1
T
∫
0
T
f
（
t
）
e
−
j
ω
n
t
d
t
（
n
=
.
.
.
.
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3....
）
（
17
）
\frac{1}{T}\int_{0}^T f（t）e^{-j\omega nt}{\rm d}t\quad（n=....-3,-2,-1,0,1,2,3....）（17）
T1∫0Tf（t）e−jωntdt（n=....−3,−2,−1,0,1,2,3....）（17）
(
C
n
C_{n}
Cn的最简式）
事实上，我们再仔细看这两个式子
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e j ω n t ( 15 ) \displaystyle\ \color{blue}f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}\ e^{j\omega nt}\quad(15) f(t)=n=−∞∑∞Cn ejωnt(15)
C n = 1 T ∫ 0 T f （ t ） e − j ω n t d t （ n = . . . . − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3.... ） （ 17 ） \displaystyle\ \color{blue}C_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^T f（t）e^{-j\omega nt}{\rm d}t\quad（n=....-3,-2,-1,0,1,2,3....）（17） Cn=T1∫0Tf（t）e−jωntdt（n=....−3,−2,−1,0,1,2,3....）（17）
你会发现 （15）式中除了
C
n
C_{n}
Cn之外的部分都是与
f
（
t
）
f（t）
f（t）无关的，可以理解为一种规则，真正决定定义函数的变换形式的东西都在
C
n
C_{n}
Cn中
重点来了
C
n
C_{n}
Cn可以理解为一个复数集合，当n取不同值的时候我们可以得到
C
1
，
C
2
，
C
3
，
C
4
.
.
.
C
n
C_{1}，C_{2}，C_{3}，C_{4}...C_{n}
C1，C2，C3，C4...Cn(都是复数）
如果在图形上，以
n
ω
n\omega
nω为x轴自变量，以
C
n
C_{n}
Cn的实部和虚部分别为y和z轴，大致可以得到这样一个示意图
这个图其实就是
f
（
t
）
f（t）
f（t）函数的频域描述，和我们平常看到的可能不同，我们平常见到的频谱图一般是单一的幅度谱（
C
n
C_{n}
Cn的模值）或者相位谱，也就是二维的频谱
在上面的这个图像中，对每一个
C
n
C_{n}
Cn乘以对应的
e
j
ω
n
t
e^{j\omega nt}
ejωnt再叠加，就得到了我们的
f
（
t
）
f（t）
f（t）也就是（15）式的形式
现在，我们来讨论之前提出的第一个问题：
（1）当周期函数的周期很大并趋于无穷的时候又会变成什么样呢
首先，当周期函数的周期趋于无穷大时，其实也就是一个非周期函数了，或者说是，在无穷长的时间后再进行重复的周期函数
还记得我们怎么引入的
ω
\omega
ω吗？
ω
=
2
π
T
\omega=\frac{2\pi}{T}\quad
ω=T2π
当周期T趋于无穷大时，
ω
\omega
ω也就趋于0，上图中的
n
ω
n\omega
nω之间的间隔
Δ
ω
\Delta\omega
Δω也是同理趋近于0
我们也可以认为
Δ
ω
=
2
π
T
（
18
）
\Delta\omega=\frac{2\pi}{T}\quad（18）
Δω=T2π（18）
这样在上图中我们就可以发现，当周期趋于无穷时， C n C_{n} Cn个离散的点（上图中的 C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 . . . C_{1}，C_{2}，C_{3}，C_{4}... C1，C2，C3，C4...）之间的间距无限靠近，最终趋于一条连续变换的线，同时X轴的横坐标 n ω n\omega nω也就= ω \omega ω了*（这里也回答了上面的第二个问题）
这里一定要看懂，原来X轴的横坐标 n ω n\omega nω是一个离散的变量，当T趋于无穷后，原来离散的坐标系变成了连续的坐标系，原来的X轴离散变量也就变成了连续的坐标变量 ω \omega ω
这同样也解释了我最近DSP课上老师反复强调的一句话：时域的周期函数，在频域一定是一系列离散的点，而时域非周期函数，频域上是连续函数
这个离散到连续的过程还是需要体会的
当然，我们不满足于仅仅在图像上的一个观察，在具体的表达式中，非周期函数是什么样呢？
对于（17）带入（15）式，同时将（18）式也带入我们观察下面这个式子：
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ Δ ω 2 π ∫ − T 2 T 2 f （ t ） e − j ω n t d t e j ω n t （ n = . . . . − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3.... ） f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f（t）e^{-j\omega nt}{\rm d}t\ e^{j\omega nt}\quad（n=....-3,-2,-1,0,1,2,3....） f(t)=n=−∞∑∞2πΔω∫−2T2Tf（t）e−jωntdt ejωnt（n=....−3,−2,−1,0,1,2,3....）
在周期T趋于无穷的过程中，也就是频域离散趋于连续的过程有些变量会发生改变
| 周期函数 | 非周期函数 |
|---|---|
| T T T | ∞ \infty ∞ |
| ∫ − T 2 T 2 \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} ∫−2T2T | ∫ − ∞ ∞ \int_{-\infty}^\infty ∫−∞∞ |
| ∑ n = − ∞ ∞ Δ ω 2 π \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta\omega}{2\pi} n=−∞∑∞2πΔω | 1 2 π ∫ − ∞ ∞ d ω \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty d \omega 2π1∫−∞∞dω |
| n ω n\omega nω | ω \omega ω |
根据上式的变换，我们可以得到
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
f
（
t
）
e
−
j
ω
t
d
t
e
j
ω
t
d
ω
(
18
)
f(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\displaystyle\ \color{blue} \int_{-\infty}^\infty f（t）e^{-j\omega t}{\rm d}t\ \displaystyle\ \color{black} e^{j\omega t}d \omega\quad(18)
f(t)=2π1∫−∞∞ ∫−∞∞f（t）e−jωtdt ejωtdω(18)
我们令蓝色部分的函数变换式等于 F ( ω ) F(\omega ) F(ω)可以得到下面两个式子（熟悉的同学们应该已经可以看出来了）
F
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
（
t
）
e
−
j
ω
t
d
t
(
19
)
\displaystyle\ \color{red}F(\omega )=\int_{-\infty}^\infty f（t）e^{-j\omega t}{\rm d}t\quad(19)
F(ω)=∫−∞∞f（t）e−jωtdt(19)
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
F
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
(
20
)
\displaystyle\ \color{red}f(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega )e^{j\omega t}d \omega\quad(20)
f(t)=2π1∫−∞∞F(ω)ejωtdω(20)
上面的（19），（20）式就是我们常说的傅里叶变换 ( F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n ) (Fourier\ \ transformation) (Fourier transformation),和傅里叶逆变换 ( F o u r i e r i n v e r s i o n ) (Fourier \ \ inversion) (Fourier inversion)了：
自此，我们就通过基础的三角函数集，以及最基本的傅里叶级数分解知识，用最简单的数学知识推导得到了傅里叶变换和傅里叶反变换
（1）如果你是直接跳到这里的，我建议你从头跟着思路认真自己推一遍，相信我，你会有自己的收获，觉得笔者写的不够通俗，较为晦涩难懂的，可以转去B站看老师的视频（强推！！）链接在文章开头
（2）如果你是认真读下来，或者自己确实推导出来的那么恭喜你，这才是真正掌握知识的过程！
（借用B站弹幕的一句话：傅里叶的脑子是怎么长的？）
笔者水平有限，且较为粗心，如果有发现错误，或者表述不准确的地方，亦或是看不懂的地方，希望积极指出，我会及时改正，今后如果还有比较有收获的文章或者视频还会继续和大家分享！
