D-S证据理论

一、前言

       20世纪60年代美国哈佛大学数学家A.P.Dempster利用上、下限概率来解决多值映射问题方面的研究工作。自1967年起连续发表了一系列论文，标志着证据理论的诞生。Dempster的学生G.Shafer对证据理论做了进一步发展，引入信任函数概念，形成了一套基于“证据”和“组合”来处理不确定性推理问题的数学方法，并于1976年出版了《证据的数学理论》（A Mathematical Theory of Evidence）,这标志着证据理论正式成为一种处理不确定性问题的完整理论。

二、D-S证据理论

1、基本概念

2、合成规则

3、理论解释

（1）上、下概率解释
[1] Dempster A P . Upper and Lower Probabilities Induced By A Multivalued Mapping[J]. Annals of Mathematical Statistics, 1967, 38.

（2）广义化Bayes理论解释

        当所有焦元都是单点急（即单个假设集），且这些焦元都满足Bayes独立条件，Dempster证据合成公式就退化为Bayes公式。

（3）随机集理论模型解释

[1] Mahler R . Combining Ambiguous Evidence with Respect to Ambiguous a priori Knowledge, I: Boolean Logic[J]. IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics - Part A Systems and Humans, 1996, 26(1):27-41.
[2] Fixsen D , Mahler R P S . The modified Dempster-Shafer approach to classification[J]. Systems Man & Cybernetics Part A Systems & Humans IEEE Transactions on, 1997, 27(1):96-104.

（4）可传递信度模型（TBM）解释

        a. 动态模型
        b. “credal”层获取信度并对其进行量化、赋值和更新处理；
            “pignistic”层将credal层上的信度转换成pignistic概率，并由此做出决策。pignistic概率分布公式如下：
                    
        c. 意义：（推理）表明信度是如何受证据影响的；（行动）从多个可行的行为方案中选择一个似乎是最好的。
                       层次化的递进模型，比较适用于需要逐层进行数据、特征和决策层融合的数据融合系统。
[1] Smets P . The transferable belief model and random sets[J]. International Journal of Intelligent Systems, 2010, 7(1):37-46.
[2] Smets P . The Combination of Evidence in the Transferable Belief Model[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1990, 12(5):447-458.

三、近似计算方法

       思想：通过减少mass函数的焦元个数达到击键的简化。

1、Bayes近似法

       Voorbraak发现，如果mass函数的合成将产生一个Bayes新人函数，则mass函数用它们的Bayes近似来代替，将不会影响Dempster合成规则的结果。
       即mass函数的合成的Bayes近似=mass函数的Bayes近似的合成
       mass函数的Bayes近似计算公式:

                                     

举例：

（1）根据Dempster合成规则

（2）根据Bayes近似法

意义：

         对于只关心识别框架中的“元素”（即单个假设）而不是其“子集”（即多个假设组成的子集）的事例简化了计算量。

[1] Voorbraak F . On the justification of Dempster's rule of combination[J]. Artificial Intelligence, 1991, 48(2):171-197.

2、一致近似法

[1] Dubois D , Prade H . Consonant approximations of belief functions[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 1990, 4(5-6):419-449.

3、（k,l,x）近似法

        k：表示保留的焦元的最少个数；
        l：表示保留的焦元的最多个数；
        x：表示允许被删除的最大mass值，通常在[0,0.1]上取值。
[1] TESSEM. Approximations for efficient computation in the theory of evidence[M]. Elsevier Science Publishers Ltd. 1993.

四、D-S证据理论存在问题

1、无法解决证据严重冲突和完全冲突

        第二节的第2小节中的“Zadeh”悖论，解决方式为添加  Θ，可理解为证据中未知部分。

2、模糊度

        子集中元素的个数越多，子集的模糊度越大。

     

3、BPA函数的微小变化使得组合函数急剧变化

         证据理论的不稳定性和对基本概率分配函数的敏感性。

      

五、扩展（改进DS证据理论，Yager合成）

1、定义

2、存在问题

         实践中：如果多传感器系统中有一个传感器发生故障，即时其他多个传感器工作状态良好，最后也会导致整个系统无法正常工作。（某一证据对某事件的基本概率分配为0，会导致最终合成的mass函数结果为0，即时其他证据对该事件分配的概率较高或增加新证据表明该事件有较大概率也无法影响合成结果）

3、改进Yager公式

举例：

                 

比较：

        Yager公式中，将支持冲突的那部分概率全部赋给未知部分，即认为冲突的证据不能提供任何有用的信息；
        改进的Yager合成公式认为即使及政治建存在着冲突，这些证据也是部分有用的，且可用程度与证据的可信度ε有关。

[1] Yager R R . On the dempster-shafer framework and new combination rules[J]. Information Sciences, 1987, 41(2):93-137.

 

参考文献：

https://wenku.baidu.com/view/8da2a02d011ca300a6c390d3.html

https://blog.csdn.net/am45337908/article/details/48832947

https://blog.csdn.net/am45337908/article/details/48845395