动态规划-各种题型及思路整理（自用笔记，大神绕道）

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

说到这个思想，想到了大一时老师讲斐波那契数列（Fibonacci sequence），很容易得到递归式，递归出口也给了，当时就直接用了递归写了。后来老师说，试试n=1000甚至更大时，你的程序需要多久。我发现真的好慢，后来了解到函数递归栈，了解到计算机并不会把算过的子问题保存起来。最后发现可以将子问题存在数组里面，这样快了很多。当然，这是最简单的了，还有需要填二维数组的。才开始系统的学动态规划，慢慢总结吧。

基本思路

1.确定状态变量（函数）；

2.确定转移方程（递推关系）；

3.确定边界条件；

4.确定递推顺序。

状态转移方程

状态转移方程的一般形式：

一般形式： U：状态； X：策略
　　顺推：f[Uk]=opt{f[Uk-1]+L[Uk-1,Xk-1]} 其中， L[Uk-1,Xk-1]：状态Uk-1通过策略Xk-1到达状态Uk 的费用初始f[U1]；结果：f[Un]。

倒推：
　　f[Uk]=opt{f[Uk+1]+L[Uk,Xk]}
　　L[Uk,Xk]：状态Uk通过策略Xk到达状态Uk+1 的费用
　　初始f[Un]；结果：f(U1)

适用条件

任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。

1.最优化原理（最优子结构性质）最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

2.无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

一句话总结

动态规划就是保存子问题结果的递归。一维时，将结果存放至一维数组。二维时，将结果存放在二维数组。

我们需要找到出口，一维时为数组的前几个，二维时一般为首行和首列。然后确定状态转移方程，找到dp[i][j]与其他子问题的关系。动态规划考虑前几个状态，常见有前缀和思想。最后，填一维数组或二维数组即可。

应用

前缀和思想

对于数组A[n]，定义数组Sum[n]，Sum[i]为前i项和，由此得到一些信息，比如，A[i]可表示为S[i]-S[i-1]。

题目：

动态规划-最大子数组

动态规划-最长平衡子串（2018北邮机试真题）

更多数据结构实现：数据结构严蔚敏版的实现（含全部代码）

有问题请下方评论，转载请注明出处，并附有原文链接，谢谢！如有侵权，请及时联系。

本文内容由网友自发贡献，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有涉嫌抄袭侵权的内容，请联系:hwhale#tublm.com(使用前将#替换为@)