混合策略纳什均衡——附例题及解析

目录

引入

混合纳什均衡

例题

求法

引入

假设这样一种对局，甲乙两人抽扑克牌，扑克牌只有两种花色，红和黑，两张牌花色相同算甲胜，反之乙胜，那么甲乙双方应该如何设定自己抽出不同花色的概率呢？

比如，设甲抽红牌的概率P=60%，那么黑牌概率就是1-P=40%，这样显然不合理

因为B会发现甲出红牌的概率明显大于黑牌，干脆B全出黑牌，这样就有60%的情况是B胜，A显然赢不了

根据生活经验我们很容易推测出P应该取50%，这样B全出一种牌最终获胜的概率也是50%，这样对B来说没有任何优势，很符合A的选择。

混合纳什均衡

（P,Q）是一个组合，并不是前面引入的四个格子里的某一个格子，而是这四个格子里面怎么样用百分数组合起来

所以混合策略求解最终的结果就是(P,Q)这样的一个组合，这个组合什么意思呢，画到图中大概下图这个样子

例题

比如上题，显然这就是一个扔硬币判定输赢的游戏（两个硬币同正或同反就判A赢，反之判B赢，显然最优混合策略为0.5，0.5）

假设我们不知道他们的策略，下面来求解

设A的策略为P，即他扔的硬币正面的概率为P，反面就是（1-P），在这种条件下我们来判断B的效用

求法

B为正面：

-1*P+1*(1-P)

B为反面：

1*P+(-1)*(1-P)

我们要让B在A的两种选择下所获得的效用相等（如果不相等就说明B的两个选择中其中一个明显在概率上优于另一个，如果这样的话B只需要一直选择优势的一种就可以打败A）

注意，我们要求的其实是A的选择的概率P，所以站在A的角度显然不能让B发现自己的两种选择里有一种更优的选择，而是让这两种选择的效用在概率上都一样，因此，我们让这两个式子相等

-1*P+1*(1-P)= 1*P+(-1)*(1-P)

求出P=0.5

这样我们就求出了P，下面来求Q

设B选择正面的概率为Q，反面就是(1-Q)，那么A在此条件下不同选择的效用就为

A为正面:1*Q+(-1)*(1-Q)

A为反面:(-1)*Q+1*(1-Q)

同理使两者相等得出Q=0.5

所以混合战略纳什均衡为{P，Q}={0.5概率选正面,0.5概率选正面}

注意：这里P，Q都为0.5，如果遇到题目数值不等，要区分P，Q分别指的是哪一方的哪种选择，默认P属于A方，Q属于B方，所以要区分PQ是这两方的哪种选择，在这道题里P是A选正面的概率，Q是B选正面的概率，其余同理