HDU 5984(求木棒切割期望 数学)

题意是给定一长为 L 的木棒，每次任意切去一部分直到剩余部分的长度不超过 D，求切割次数的期望。

若木棒初始长度不超过 D，则期望是 0.000000；

设切割长度为 X 的木棒切割次数的期望是 F(X).

则 F(X) = F(切割点位置为 0 ~ D) + F(切割点位置为 D ~ X ) + 1；（此处的 +1 是指首次切割产生的次数)

而 F(切割点位置为 0 ~ D ) = 0；(因为已无需再切割)

令下一次切割点的位置为 T，

F(切割点位置为 D ~ X ) = 在D~X上积分 ( 1 / X ) * F( T ) dT ；(在长度为 X 的木棒上选择到任何一点切割的概率为 1 / X)

F( X ) = F(切割点位置为 0 ~ D) + F(切割点位置为 D ~ X ) + 1 = 0 + 在D~X上积分 ( 1 / X ) * F( T ) dT + 1

两边求导：F‘( X ) = - ( 1 / X² ) * ∫ F( T ) dT + F( X ) / X；(积分区间均为 D ~ X)

又： F( X ) = ∫ ( 1 / X ) * F( T ) dT + 1

得：  - ( 1 / X² ) * ∫ F( T ) dT = ∫ ( 1 / X ) * F( T ) dT / ( -1 / X ) = ( F(X) - 1 ) / ( -1 / X )

则： F’( X ) = - ( 1 / X² ) * ∫ F( T ) dT + F( X ) / X = ( F(X) - 1 ) / ( -1 / X ) + F( X ) / X = 1 / X

即： F( X ) = ln( X ) + C ( C为常数 )

由 F( D ) = 1，得：C = 1 - ln( D )

得：F( L ) = ln( L ) + 1 - ln( D ) = log( L / D )  + 1.

代码如下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5     int t;
 6     double l,d;
 7     scanf("%d",&t);
 8     while(t--)
 9     {
10         scanf("%lf%lf",&l,&d);
11         if(l<=d) puts("0.000000");
12         else printf("%.6lf\n",log(l/d)+1);
13     }
14     return 0;
15 }  

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