CSDN的uu，你们好呀，今天我们要学习的内容是
数论哦！这也是算法题中的一类题目吧。记好安全带，准备发车咯！
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学习数论的意义📢
算法导论说：“数论曾经被视为一种虽然优美但却没什么用处的纯数学学科。如今，数论算法已经得到了广泛的使用。这很大程度上要归功于人们发明了基于大素数的加密方法。快速计算大素数的算法使得高效加密成为可能，而目前其安全性的保证则依赖于缺少高效将合数分解为大素数之积（或求解相关问题，如计算离散对数）方法的现状。” 数论可以分为：初等数论，解析数论，代数数论，几何数论等。我们从基础开始学起哦！
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求解区间内的质数📗
我们先来看看质数的定义：在大于1的整数中，如果一个整数只包含1和本身两个约数，那么这个数就被称为质数或者素数。
顺便来看看约数的定义：约数（又称因数）是指若整数a除以整数b(b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，就说a能被b整除，或b能整除a，其中a称为b的倍数，b称为a的约数。 下面我们就讲讲如何求解一个区间内的所有质数。
2.1 质数的定义求解1-N之间的质数1️⃣
在讲解这种方法之前我们需要直到如何判断一个数是否是质数。根据质数的定义，显然我们可以枚举
2-(N-1)之间数，如果某个数能被N整除，说明N不是质数。反之如果2-(N-1) 之间的数均不能被N整除那么说明N就是质数啦！
在知到了如何判断一个数是否为质数之后，想要求解1-N之间的所有质数只需要遍历 1- N 之间的所有数，用质数的判断函数对这些数进行检验输出即可！
bool isPrime(int x)
{
//如果小于2非质数
if (x < 2)
return false;
//遍历 2 - (x - 1)的所有数
for (int i = 2; i < x; i++)
{
//如果有约数，非质数
if (x % i == 0)
return false;
}
//没有约数返回false
return true;
}
int main()
{
for (int i = 1; i <= 100; i++)
{
//是质数输出结果
if (isPrime(i))
printf("%d ", i);
}
return 0;
}
显然在 isPrime 这个函数的枚举中是可以优化的。因为一个数 i 如果能被 n整除，那么 n / i 也能够被n整除，所以我们只需要枚举较小的那个数i即可，也就是for循环结条件可以写成：
for(int i = 2; i <= x / i; i++)
这便是i<=sqrt(x) 的由来！但是这里不建议将循环的结束条件写成：i<=sqrt(x)，这样写每一次循环都要进行计算，时间复杂度会提高！也不建议写成：i * i <= x，这样写可能会溢出！发生意想不到的结果。
bool isPrime(int x)
{
//如果小于2非质数
if (x < 2)
return false;
//遍历 2 - (x - 1)的所有数
for (int i = 2; i <= x / i; i++)
{
//如果有约数，非质数
if (x % i == 0)
return false;
}
//没有约数返回false
return true;
}
int main()
{
for (int i = 1; i <= 100; i++)
{
//是质数输出结果
if (isPrime(i))
printf("%d ", i);
}
return 0;
}
时间复杂度分析：在判断一个数是否为质数时，时间复杂度一定是根号x，求解的数的范围是 1-N
所以总的时间复杂度为：O(N*sqrt(N))。
2.2 筛质数----埃氏筛法2️⃣
什么是筛质数呢？就是将质数从一个区间内筛选出来！你可以将指数理解为较大的石头，合数理解为较小的石头，我们利用筛子就可以将小石头筛掉留下大石头！
第一种方法：
遍历2-N之间的所有数，将遍历到的该数的倍数（不包括自身）筛去，遍历完毕后剩下的数就是质数啦！
如何对应到代码上呢？我们用一个数组primes来存储质数，用一个数组st来判断一个数是否被筛去，然后我们遍历1-N之间的所有数，如果这个数没有被筛去，即st[i] == false，就把他添加到primes数组中！然后利用这个数将他的倍数筛去！
时间复杂度分析：
所以我们可以取时间复杂度为N*logN。
const int N = 100;
bool st[N];
int primes[N];
void getPrimes(int n)
{
int cnt = 0;
//遍历2-n之间的所有数
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
//如果这个数没有被筛去，就是质数
if (!st[i])
{
primes[cnt] = i;
++cnt;
}
//利用这个数去筛他的倍数
for (int j = i + i; j <= n; j += i)
st[j] = true;
}
}
int main()
{
//求1-100之间的质数
getPrimes(100);
return 0;
}
方法一的优化：
筛选的过程中我们只需要筛掉质数的倍数即可！因为合数是可以进行质因子分解的！所以所有的合数一定会被他的质因子给筛掉！因此我们可以把筛掉倍数的循环放在里面！
const int N = 100;
bool st[N];
int primes[N];
void getPrimes(int n)
{
int cnt = 0;
//遍历2-n之间的所有数
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
//如果这个数没有被筛去，就是质数
if (!st[i])
{
primes[cnt] = i;
++cnt;
//利用这个数去筛他的倍数
for (int j = i + i; j <= n; j += i)
st[j] = true;
}
}
}
int main()
{
//求1-100之间的质数
getPrimes(100);
return 0;
}
时间复杂度分析：
这里有一个质数定理：1-N中的质数个数有 N / lnN 个。
2.3 筛质数----线性筛法3️⃣
线性筛法是对埃氏筛法的优化哈！我们来看埃氏筛法：对于6和12这两个数，在遍历到质数2时这两个数会被筛一次，在遍历到质数3时这两个数还会再被筛一次！显然会有重复的工作！而线性筛法能够保证每一个合数只会被筛一次，这是怎么做到的呢？
我们来看这样一句话：对于一个合数X，假设primes[j] 是X的最小质因子，那么在遍历到质数primes[j] 时，这个合数X就一定会被筛去，又因为每一个合数都有且仅有一个最小质因子，所以对于每一个合数我们都用它的最小质因子来筛掉！
具体应该怎么做呢？同样我们用i遍历1-N之间的所有数，如果这个数没有被筛去，那么他就一定是质数，然后我们用j从小到大遍历存储质数的primes数组，然后筛掉primes[j] * i这个合数！为什么是primes[j] * i 呢？
那么用j遍历primes数组中的质数时循环的结束条件是什么呢？通过上面的分析，我们能够知道退出遍历primes数组的条件就是用最小质因子筛去所有可能筛掉的数!当遍历得到的质数如果比i大的话，显然就不满足用最小质因数筛合数的条件了！因此循环的结束条件可以这么写：
for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
这里大家可能会有一个疑问？primes数组的访问会不会越界呢？也就是说要不要加上小于primes数组大小的限制条件呢？
emm，是没有这个必要的哈！当i为合数时，枚举到他的最小质因子后就会结束循环！当i为质数的时候，枚举到自身时也会退出循环，所以是没有必要加上这个条件的哈！
const int N = 100;
bool st[N];
int primes[N];
void getPrimes(int n)
{
int cnt = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
//这个数没有被筛去。说明他是质数
if(!st[i])
primes[cnt++] = i;
//遍历primes数组，筛去可以筛去的合数
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
{
//筛掉primes[j]*i这个数！
st[primes[j] * i] = true;
//如果说i是合数，那么找到最小质因子后就结束循环
//如果说i是质数，遍历到等于自身的那个质数时也会结束循环
if (i % primes[j] == 0)
break;
}
}
}
int main()
{
getPrimes(100);
return 0;
}
3. 埃氏筛法和线性筛法粗略的时间比较⌛
当数据量在10的6次方时两者时间相差不大，数据量在10的7次方时，埃氏筛法会比线性筛法慢一倍左右。
数据量为10^6时：
数据量为10^8时：
3. 小试牛刀🚩
204. 计数质数 - 力扣（Leetcode）
谢谢大家的阅读！如果有什么讲的不对的地方欢迎大家指正！
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