程序员经验分享-hwhale

美赛python学习d4--python在高等数学和线性代数中的应用

2023-11-07

科学计算设计数值计算和符号计算，在python中作基础数值计算用numpy和scipy工具库，作符号运算用sympy工具库

sympy工具库–符号运算

sympy常见模块

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符号运算基本知识

  1. 利用symbols函数创建符号变量
    构造多个符号变量时中间以空格分隔
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  2. 利用符号变量创建表达式

  3. 利用符号表达式的subs方法计算表达式的符号值，利用evalf或n方法获得任何对象的浮点近似值
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sympy处理有理数的合并，化简

  1. together函数计算有理数的加法
  2. apart函数计算有理数的除法
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    上述together函数实现了分式的通分，apart函数实现了分式的化简

用sympy做符号函数画图

支持二维曲线，三维曲面，隐函数等的画图
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sympy在高等数学中的符号解

可以用于求极限，求导数，级数求和，泰勒展开，不定积分和定积分，求方程的解等

scipy工具库–数值运算

scipy工具库是对numpy的功能扩展，提供了许多高级数学函数，如微积分，方程求解等

scipy常用模块

微积分模块支持数值积分和微分方程数值解的功能

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  1. 利用quad函数求函数的一重积分，f通常采用lamba函数的形式
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  2. 利用dblquad,tplquad函数求多重积分
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求非线性方程（组）的数值解

fsolve函数第一个参数是函数f,由于方程可能不止一个解，后面的参数是guess的解的估计值
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高等数学问题的符号解和数值解

求非线性方程组的数值解

一般阶数大于等于5以上的非线性方程组无法找到准确的解的表达式，只能通过一些特殊的方法找到方程在误差范围内的数值解

二分法

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python求解

e.g
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import numpy as np 

def binary_search(f,eps,a,b):
    c=(a+b)/2
    while np.abs(f(c))>eps:
        if f(a)*f(c)<0 :b=c
        else :a=c
        c=(a+b)/2
    return c
f=lambda x:x**3-2*x-5
print("二分法求得的根为:",binary_search(f,0.5e-3,2,3))

运行结果
二分法求得的根为: 2.09454345703125

牛顿迭代法

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线性代数问题的符号解和数值解

可以求矩阵的行列式，秩，逆矩阵，构造特殊矩阵（单位矩阵），求向量的模等

  1. sympy求解线性方程组的符号解
  2. numpy求解线性方程组的数值解
  • 齐次线性方程组
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  • 非齐次线性方程组
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