今天找到了一个比较新手友好的slides，结合lec1和学姐的笔记一起看~
full-rank lattice 满格
R
n
\mathbb{R}^{n}
Rn的概念：n维度实数集，每个元素是n维向量,向量中的每个分量是实数
Z
n
\mathbb{Z}^{n}
Zn的概念：n维度整数集，向量中每个分量是整数
格(lattice)是一种数学结构，定义为一组线性无关的非0向量（称作格基）的整系数线性组合。具体来说，给定一组格基
x
1
,
…
,
x
n
x_{1}, \ldots, x_{n}
x1,…,xn，对任意的整数
c
1
,
…
,
c
n
,
c
1
x
1
+
…
+
c
n
x
n
c_{1}, \ldots, c_{n}, \quad c_{1} x_{1}+\ldots+c_{n} x_{n}
c1,…,cn,c1x1+…+cnxn都是属于这个格的向量，
n
n
n称为格的维数。例如，下图表示了一个二维格和两组不同的格基：
一个格的格基可以不是唯一的，例如((2,1),(1,1))和((1,0),(0,1)）都是二维整数格的一组格基，即使定义了同样格的两组格基，长度也可能相差很大。一个维数足够高的格，通过一组随机选取的格基找到一组短格基或得到一组线性无关的短格向量是困难的。
单点集0也是格
整数构成一维格，n格整数是一个n维格，整数和单点集0的笛卡尔积是一个二维格，虽然他的秩为1。
3、任何的格
L
\mathcal{L}
L，他的c倍
c
L
=
{
c
x
:
x
∈
L
}
c \mathcal{L}=\{c \mathbf{x}: \mathbf{x} \in \mathcal{L}\}
cL={cx:x∈L}，（c是实数）也是格。一个格的线性变换依然是格
4.集合
{
x
∈
Z
n
:
∑
i
=
1
n
x
i
∈
2
Z
}
\left\{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^{n}: \sum_{i=1}^{n} x_{i} \in 2 \mathbb{Z}\right\}
{x∈Zn:∑i=1nxi∈2Z}也是一个格，通常被称为棋盘格。
如下图所示
5、有理数Q不能构成格，虽然他们可以构成子群，但是不是离散的。存在任意接近0的有理数。
6、奇数2 \mathbb{Z}+1也不构成格，尽管他们是离散的，但是他们不能组成R的子群。
7、群G=
Z
+
2
Z
\mathbb{Z}+\sqrt{2} \mathbb{Z}
Z+2
Z并不是格，因为他不是离散的。
定义 格
L
⊂
R
n
\mathcal{L} \subset \mathbb{R}^{n}
L⊂Rn的秩k是他的线性空间的维度。
k
=
dim
(
span
(
L
)
)
k=\operatorname{dim}(\operatorname{span}(\mathcal{L}))
k=dim(span(L))。当k=n的生活，格是满秩的。
同态映射例子
定义设
ϕ
\phi
ϕ是集合A到B的一个关于运算A和运算B的同态映射，若
ϕ
\phi
ϕ是一个单射（满射）
则称
ϕ
\phi
ϕ是一个同态单射（同态满射）
同构、自同构
A和B是同构集合
如果一个映射是A到B的同构映射，则逆映射也是同构映射。
Shor算法
整数分解的指数时间量子计算机算法，用于解决给定的一个整数N，找出他的素因子。Shor算法的效率归因于量子傅立叶变换的效率，以及通过重复平方得到的模幂。
英语名词
rank 秩
rationals 有理数
linear span 线性空间
bijectively 双射地
