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《PRML》学习笔记2.2——多项式分布和狄利克雷分布

2023-11-07

    上回讲完了伯努利分布、二项分布和Beta分布，以及从最大似然估计的非参数化思想和引入共轭先验，使得参数变成一个变量，建模求解的参数化方法两方面介绍了求解模型参数\mu的方法。没有读过的朋友可以参考：《PRML》学习笔记2.1——伯努利分布、二项分布和Beta分布，从贝叶斯观点出发

    今天将为大家介绍两个更难理解的分布——多项式分布和狄利克雷分布。

1.多项式变量和多项式分布

    伯努利分布的一个经典例子就是掷硬币，当你掷出去的时候，得到的结果只有正面朝上或者反面朝上两种可能，因此可以用p(x|\mu)=\mu^{x}\cdot(1-\mu)^{1-x}进行建模。概率密度的表达式中，x的取值只有两种情况——0或1，那么，这个建模方法就不适用于掷骰子了，毕竟骰子有6个面，对应着6种投掷结果。所以这时候就要将服从伯努利分布的变量进行扩展了。

    首先，使用一种方式来表达投掷骰子的结果，这里推荐的是"1-of-K"表示法，使用一个K维向量\boldsymbol{x}来表示状态，向量中一个元素x_k等于1，其余元素为0，用来表示发生的是第k中情况：

                                                                          \large \boldsymbol{x}=(0,0,0,1,0,0)^T                                                                                  (1)

    如果用参数\mu_k表示x_k=1的概率，那么\mathbf{x}的分布为：

                                                                          \large p(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{\mu})=\prod_{k=1}^{K}\mu_k^{x_k}                                                                                        (2)

    因为\mu_k代表的是一种情况的概率，所以\mu_k满足

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