前面我们介绍了Python代码实现线性回归，今天，我们来聊一聊当数据呈现非线性时，这时我们继续用线性表达式去拟合，显然效果会很差，那我们该怎么处理？继续上实例（我们的代码里用到的数据集尽量直接由Python生成，因此，是可以全部跑通的，有需要的同学，建议大家粘贴复现一下，多思考，多动手，才可以学的更好。）
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用来正常显示负号
#生成如下数据集
a= np.arange(1,11)
b=np.array([4500,5000,6000,8000,11000,15000,20000,30000,50000,100000])
data = np.c_[a,b]
#给x,y分别添加维度
x = data[:,0,np.newaxis]
y=data[:,1,np.newaxis]
plt.scatter(x,y)
plt.show()
数据的分布如上图所示，这时候如果继续使用线性回归去拟合，这里继续使用上篇文章Python手写的类，和sklearn里面实现是一样的。
链接: 手写算法-Python代码推广多元线性回归
class normal():
def __init__(self):
pass
def fit(self,x,y):
m=x.shape[0]
X = np.concatenate((np.ones((m,1)),x),axis=1)
xMat=np.mat(X)
yMat=yMat =np.mat(y.reshape(-1,1))
xTx=xMat.T*xMat
#xTx.I为xTx的逆矩阵
ws=xTx.I*xMat.T*yMat
return ws
model=normal()
w = model.fit(x,y)
#生成2个点画图
x_test=np.array([[1],[10]])
y_test = w[0] + x_test * w[1]
ax1= plt.subplot()
ax1.plot(x_test,y_test,c='r',label='线性回归拟合线')
ax1.scatter(x,y,c='b',label='真实分布')
ax1.legend()
plt.show()
可以看出拟合的效果很差，这里如果用
这种表达式去拟合应该会更好
这里和大家介绍一个
#生成多项式
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
实现的功能是给X增加维度，具体的可以看官网或者看看我的这篇文章，里面有实现的原理解析，看一下明白了。
链接: 代码系列-python实现PolynomialFeatures（多项式）
我们继续用Python实现：
def multi_feature(x,n):
c = np.empty((x.shape[0],0)) #np.empty((3,1))并不会生成一个3行1列的空数组,np.empty((3,0))才会生成3行1列空数组
for i in range(n+1):
h=x**i
c=np.c_[c,h]
return c
#先设置n=2
x_1 = multi_feature(x,2)
x_1 #输出变化后的x
model=normal()
#用新生成的x作为输入
w = model.fit(x_1,y)
报错了!!!
LinAlgError: Singular matrix
这个错误代表在对numpy的矩阵用np.linalg.inv方法时报错，也就是无法求逆矩阵，难道要屈服用sklearn吗？
不行！！
第一时间返回去看我们写的类，破案了！问题很简单，python写的类里面，我们给x添加了偏置，在这个生成的多项式x_1中，本身就有一列1，这样的话就有2列1，变成了一个非满秩矩阵，因此不需要再添加偏置，修改代码如下：
class normal():
def __init__(self):
pass
def fit(self,x,y):
#x_1中已经生成了一列1，不需要再加偏置，因此注释掉这2列。
#m=x.shape[0]
#X = np.concatenate((np.ones((m,1)),x),axis=1)
xMat=np.mat(x)
yMat=yMat =np.mat(y.reshape(-1,1))
xTx=xMat.T*xMat
#xTx.I为xTx的逆矩阵
ws=xTx.I*xMat.T*yMat
return ws
model=normal()
#用新生成的x作为输入
w = model.fit(x_1,y)
w
这次没有问题了。（为了检查参数是否正确，我又马上调用了sklearn来跑了一遍，先透露结论：系数没错，后面上sklearn的结果）
画图看这次的拟合效果：
#计算x_1的拟合效果，下面是矩阵乘法
y_1 = np.dot(x_1,w)
ax1= plt.subplot()
ax1.plot(x,y_1,c='r',label='n=2时，拟合效果图')
ax1.scatter(x,y,c='b',label='真实分布图')
ax1.legend(prop = {'size':15}) #此参数改变标签字号的大小
plt.show()
效果好很多了，设置n=5
#设置n=5
x_2 = multi_feature(x,5)
model=normal()
#用新生成的x_2作为输入,重新拟合
w = model.fit(x_2,y)
#计算x_2的拟合效果，下面是矩阵乘法
y_2 = np.dot(x_2,w)
ax1= plt.subplot()
ax1.plot(x,y_2,c='r',label='n=5时，拟合效果图')
ax1.scatter(x,y,c='b',label='真实分布图')
ax1.legend(prop = {'size':15}) #此参数改变标签字号的大小
plt.show()
已经很完美了，由于点太少，显得拟合曲线不是那么平滑，多传入一些x值，
x_test = np.linspace(1,10,100)
x_3 = multi_feature(x_test,5)
#生成预测值y_3
y_3 = np.dot(x_3,w)
ax1= plt.subplot()
ax1.plot(x_test,y_3,c='r',label='n=5时，拟合效果图')
ax1.scatter(x,y,c='b',label='真实分布图')
ax1.legend(prop = {'size':15}) #此参数改变标签字号的大小
plt.show()
最后附上sklearn检验系数的结果，完全一样的：
from sklearn.linear_model import LinearRegression
model = LinearRegression()
model.fit(x_2, y)
print('截距为：',model.intercept_,'\n')
print('系数为：',model.coef_,'\n')
print(w)
1、这篇文章主要告诉我们，做回归模型时，要了解数据，不能上来就调用sklearn里面的线性回归包，要根据数据的分布，选择合适的算法包，有时候还要对X特征进行一些预处理工作。
2、平时做机器学习还是调包，因为自己写的有很多不足的地方，且很难做到推广，但是，学习的过程中，还是建议多研究一下原理，这样可以走得更远。
3、大家有什么问题需要交流，我一定知无不言，期待一起进步。