前言
最近在重刷李航老师的《统计机器学习方法》尝试将其与NLP结合，通过具体的NLP应用场景，强化对书中公式的理解，最终形成「统计机器学习方法 for NLP」的系列。这篇将介绍潜在语义分析LSA（绝对给你一次讲明白）并基于LSA完成一个主题模型提取的任务。
潜在语义分析是什么
潜在语义分析(Latent Semantic Analysis, LSA)是一种无监督的机器学习方来，通过分析文本内容来获取文本「隐藏主题」，也就是文章的「表示」，一旦能获取文本的「表示」就可以进行文本之间的相似度的计算，进而实现文本聚类等应用。
单词向量空间模型
在统计机器学习里面获取一个文章的「表示」最基础的方法就是单词向量空间模型。基本的想法是用一个向量来表示文章的语义，向量的每一个维度表示词表中的一个单词，这个维度的数值就表示该单词在文本中出现的频次或者权重（例如tf-idf）。这样通过计算两个向量的相似度（例如余弦相似度）就可以来获得两个文本之间的相似度。这种模型非常简单而且计算效率很高，至今在信息检索等场景广泛应用。
但也会存在两个问题：(1) 无法解决一词多义或者多词一义的问题，因为是最简单的「字面匹配」。例如“很开心”和“好快乐” 这两句其实是一个意思，但是没有一个字是一样的，按照上面的方法这两句话的语义相似度就是0 (2) 存储开销较大，因为词表的大小一般是非常大的（例如几万维），所以存一个N*V的矩阵会是很大的开销，这里N表示文章个数，V表示词表大小。（其实现在来看这点不算什么问题）
正是因为最基础的「单词向量空间模型」存在上述的问题，所以潜在语义分析LSA就被提出了。
话题向量空间模型
我们认为一个文本一般包含多个话题，两个文本语义的相似可以等价于两个文本话题的相似。这里的话题就可以用一组相似的单词构成，比如{开心，快乐，高兴}等。所以我们可以构建一个话题向量来对一个文本进行表示，向量的每一个维度表示一个话题，这个维度的数值就表示文本在这个话题上的权重，并且一般话题的个数是远小于词表的个数，存储空间大幅降低。所以通过这种方式就可以解决「单词向量空间模型」遇到了两个问题。
如上图所示，LSA就是通过将「单词-文本矩阵」（单词向量空间）转化成 「单词-话题矩阵」和 「话题-文本矩阵」（话题向量空间模型）乘积的形式，从而挖掘出文章中潜在的语义。
训练阶段：首先基于单词向量空间模型从训练文本中构建出「单词-文本」矩阵，然后通过矩阵的奇异值分解对「单词-文本矩阵」进行分解，将分解结果的左矩阵作为话题的表示，右矩阵作为文本的表示（在话题维度下）。
预测阶段：给定一个文本，先获取单词向量空间(1*m)，然后与空间表示(m*k)相乘，就获得了话题空间向量(1*k)，作为这个文本的表示。
基于LSA的主题模型
主题模型(Topic Model)是一种无监督的机器学习方法（例如本文介绍的LSA），来获取一个文档/文章所表示的主题是什么。这里的「主题」不一定是我们常见的真实「主题」，例如体育，历史，娱乐等；也可以表示这篇文章一组最佳的关键词，例如奥运会，游泳，夺冠等；甚至是这篇文章的一个向量表示（人类不可读）。
通过主题模型可以实现文章的聚类。例如新闻网站就可以对同一个新闻事件的不同文章进行自动的聚合，或者从一系列的文章中自动挖掘出几个大的类目。
下面我们通过简单的例子来进行实际的应用。假设我们有下面5个句子构成的文档集，并希望挖掘出2个主题。
0 He is a good dog.
1 The dog is too lazy.
2 That is a brown cat.
3 The cat is very active.
4 I have brown cat and dog.
首先我们对句子进行预处理，移除停用词，得到下面清洗后的结果
0 good dog
1 dog lazy
2 brown cat
3 cat active
4 brown cat dog
接下来我们用sklearn的TfidfVectorizer来构建词表和「单词-文本」矩阵
from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer
vectorizer = TfidfVectorizer(stop_words='english', smooth_idf=True)
X = vectorizer.fit_transform(df['clean_documents'])
我们看一下构建的词表和原始的「单词-文本矩阵」
print(vectorizer.get_feature_names())
"""['active', 'brown', 'cat', 'dog', 'good', 'lazy']"""
print(X.to_array())
"""
array([[0. , 0. , 0. , 0.55645052, 0.83088075, 0. ],
[0. , 0. , 0. , 0.55645052, 0. , 0.83088075],
[0. , 0.76944707, 0.63871058, 0. , 0. , 0. ],
[0.83088075, 0. , 0.55645052, 0. , 0. , 0. ],
[0. , 0.64846263, 0.53828256, 0.53828256, 0. , 0. ]])
"""
下面继续进行SVD分解，这里我们假设有2个主题
from sklearn.decomposition import TruncatedSVD
# SVD represent documents and terms in vectors
svd_model = TruncatedSVD(n_components=2, algorithm='randomized', n_iter=100)
lsa = svd_model.fit_transform(X)
我们将每个主题的表示先打印出来
dictionary = vectorizer.get_feature_names()
encoding_matrix = pd.DataFrame(svd_model.components_, index = ["topic_1","topic_2"], columns = (dictionary)).T
可以看到第一个主题主要关于猫 ，第二个主题主要关于狗 。
接着我们将每个文本对应的话题向量打印出来
pd.options.display.float_format = '{:,.16f}'.format
topic_encoded_df = pd.DataFrame(lsa, columns = ["topic_1", "topic_2"])
topic_encoded_df["documents"] = df['clean_documents']
display(topic_encoded_df[["documents", "topic_1", "topic_2"]])
可以看到文本0，1提到了狗所以被分到了主题1；文本2，3提到了猫所以被分到了主题2；文本4中同时提到了狗和猫但是主题1中还包括“brown”棕色这个概念，所以文本4也被分到了主题1。
参考
baiziyu：sklearn-TfidfVectorizer彻底说清楚
https://towardsdatascience.com/latent-semantic-analysis-deduce-the-hidden-topic-from-the-document-f360e8c0614b
