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正态分布
正态分布又名高斯分布。
若随机变量X服从一个数学期望为
μ
，标准差为
σ
的正态分布，则记为
X～N(μ,σ2)
。
其中期望
μ
决定了分布位置，标准差
σ
决定了分布幅度。
概率密度函数为：
f(x)=1σ2π‾‾‾√e(x−μ)22σ2
若
μ=0
，
σ=1
，则称为标准正态分布。
伯努利分布 Bernoulli
伯努利分布又名二点分布，0-1分布。
首先介绍伯努利实验。只有两种可能结果的单次随机实验叫做伯努利实验，即可以用是与否来概括实验结果。如果独立重复n次伯努利实验，则称之为n重伯努利实验。
若进行一次伯努利实验，且
P(X=1)=p,P(X=0)=1−p
，那么称随机变量X服从伯努利分布。
伯努利分布的概率密度函数为：
f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪p,1−p,0,x=1x=0其他
二项分布 Binomial
二项分布是n重伯努利实验成功次数所服从的离散概率分布。
假设n重伯努利实验的成功次数为X,成功的概率为p，那么我们称X～B(n,p)。
二项分布的概率密度函数是：
f(x)=Cxnpx(1−p)n−x,x∈{0,1,2,...,n}
则伯努利分布是二项分布的一种特殊表现形式，即n=1。
经典案例是掷硬币，即硬币正面朝上的概率为p，那么掷n次硬币，正面朝上的次数服从二项分布。
多项式分布 Multinomial
多项式分布是二项分布的推广，仍然是进行n次独立实验，但是每次实验的结果不再只有两种，而是可以有m种。这m种结果彼此互斥，且发生的概率之和为1。
多项式分布的概率密度函数是：
f(X)=f(x1,x2,...xm)(多项式系数展开后可以约掉)其中∑i=1mxi=n,∑i=1mpi=1=Cx1npx11Cx2n−x1px22...Cxmn−x1−x2−..xm−1pxmm=n!x1!x2!...xn!px11px22...pxmm=n!x1!x2!...xn!∏i=1mpxii
经典案例是掷骰子，骰子的每个面朝上的概率分别为
{p1,p2,...,p6}
，特别的，这些概率值并不需要相等，只要每个面朝上这个事件彼此独立的就可以了，比如掷一个不规则的骰子。
泊松分布
指数分布
Beta分布
gamma函数:
Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt
利用分部积分法，易证
Γ(x+1)=xΓ(x)
。
证明过程如下:
Γ(x+1)=∫∞0txe−tdt=−∫∞0txde−t=∫∞0e−tdtx−txe−t∣∞0(txe−t∣∞0由洛必达法则可知该项为0)=∫∞0xe−ttx−1dt=x∫∞0e−ttx−1dt=xΓ(x)
由gamma函数的递归关系可知，
Γ(x)=(x−1)!
，其为阶乘在实数集上的延拓。
而Beta函数需要用到gamma函数，作如下定义：
B(a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)=∫10ta−1(1−t)b−1dt
而Beta分布的概率密度函数定义，即：
f(x)=1B(a,b)xa−1(1−x)b−1=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)xa−1(1−x)b−1
当X服从参数为a,b的Beta分布时，有，
期望E(X)=aa+b,方差Var(X)=ab(a+b)2(a+b+1)
Dirichlet分布
